Question

おでん

線形代数の問題になります。
まったく解法が思いつきません。教えてください

次の条件 (1),(ii) をともにみたす3次正方行列 A を求めよ.
(i)Aの固有値はすべて正の実数である。
27
(ii) A2
-26
-26 -10
13-12-3
10 -10 -1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

i

固有値をλとします。
単位行列をEとします。
固有ベクトルをxとします。
Ax＝λx...a式
A(Ax)＝λ(Ax)
a式より
A(Ax)＝λ^2x
A^2x＝λ^2Ex
(A^2-λ^2E)x＝0
ここからは普通に固有値を求めて行くだけです。
det(A^2-λ^2E)＝0
A^2は示されているので、それを使うとλ^2は1、4、9となります。
λ^2が1の時、
xは上から順に1、1、0の列ベクトルとなります。
4の時は1、1/2、1
9の時は2、1、1
となります。
λは正の実数と示されているので、λは1、2、3となります。
固有ベクトルを1つずつ列として以下のように新しく3×3の行列Pを作ります。
1 1 2
1 1/2 1
0 1 1
また、λの固有値を対角線上に配置した3×3の対角行列Tを作ります。
この時、Pを作る時に並べた順番に対応するように固有値で以下のように行列を作ってください。
1 0 0
0 2 0
0 0 3
対角化について思い出してください。
対角化の説明は割愛します。
Pの逆行列を便宜上P*とします。
P*AP＝Tとなりますね。
A＝PTP*
で計算すればAが求まります。

i

Aは以下のようになります。
7 -6 -2
3 -2 -1
2 -2 1
あまりにも計算数が多いのでガウスの手法使うなり、高度計算機使うなりして求めてあげればこうなります。

おでん

ありがとうございます。
本当に助かります！