EX 3点O(0, 0), A(4, 0), B(2, 2) を頂点とする三角形OAB の面積を, 直線l:y=mx+m+1
④56 が2等分するとき, 定数mの値を求めよ。
[早稲田大]
HINT] △OAB は ∠B=90°の直角二等辺三角形。 直線ℓと辺 OB, AB の交点をそれぞれP, Qと
すると ABPQ=1/2BPBQ
△BPQ=
△OAB=1/23･4･2=
また, 直線 OBの方程式はy=x, 直線
AB の方程式はy=-x+4 であるから,
直線OB と直線AB は垂直に交わる。
∠OBA=90°
よって
l の方程式を変形すると
•4.2=4
△OAC=
ゆえに 1/3<m</1/3
くく
直線AB の傾きは-1であるから
y=m(x+1)+1
ゆえに, lは点(-1, 1) を通り, 傾きがmの直線である。
ここで,点(-1, 1) をCとすると
BQ=√
したがって
AOAC-1/241=2=1/12 △OAB
4・1=2
このことから,lが △OAB の面積を2等分するとき, lは辺
AB と交わることがわかる。
(-1,1)
C
1
lが点Aを通るとき 0 =4m+m+1 よって m=
m=-
5
1
lが点Bを通るとき 2=2m+m+1 よって m=
3
分母を払って
整理すると
これを解いて
y₁
① を満たすのは
① のとき, lと辺OB の交点をPとし, l と辺AB の交点を Q
とする。
点Pのx座標は,x=mx+m+1を解いて
点Qのx座標は,-x+4=mx+m+1 を解いてx=
直線OBの傾きは1であるから
BP = √2 (2_m+1) = ²
√2 (1-3m)
1-m
0
m=
2
√2 (1-3m)
m+1
(1-3m)=2(1-m²)
11m²-6m-1=0
3±2√5
11
m=
P,
B
2
3-2√5
11
3-m
= √2 ( 3³3 =²2² - 2) = ²
m+1
ABPQ=1/2BP-BQ=12.12(1-3m)√(1-3m)
4
x=
e l
Ax
(1-3m)2
2
1-m²
l が △OAB の面積を2等分するとき, △BPQ=2となるから
(1-3m)2 =2
1-m²
m+1
m+1
1-m
3-m
m+1
←垂直
⇔傾きの積が-1
←m がどんな値をとっ
ても, (x,y)=(-1, 1)
は等式 y=m(x+1)+1
を満たす。
PA
m+1
1-m
B
2
·O·
Q
3-m x
m+1
