Question

くう

2022年度本試験の数IIBです。
第1問［2］(4)について
解答ではa=q、b=pとしていますが、a=p、b=qではダメな理由を教えていただきたいです。どちらでもいいのなら順番通りa=p、b=qとおきそうだなと思ったので、なにか理由があるのかなと考えました。
少し長い問題ですみません。よろしくお願いします🙇‍♂️

〔2〕 α, b は正の実数であり, a = 1,6=1を満たすとする。 太郎さんは
loga b と logs a の大小関係を調べることにした。
(1) 太郎さんは次のような考察をした。
まず 10g39
log39 logg 3
が成り立つ。
一方, log-
log
が成り立つ。
セ
ス
< log
log9 3=
3
2
セ 4
log
ス
4
tz
である。この場合
2
3
である。この場合
(数学ⅡⅠ・数学B 第1問は次ページに続く。)
(2) ここで
logab = t
とおく。
(1) の考察をもとにして, 太郎さんは次の式が成り立つと推測し,それ
が正しいことを確かめることにした。
1
log, a = t
86*120
① により、
成り立つことが確かめられる。
タ
(0)
の解答群
ab = t
bt=a
の解答群
である。このことによりタ
a=tb3@1 < D
b = at
a=b
@ ta = b
FOAST
0 a=b²
4 t = b ²²
(2
が得られ､②が
b=t
⑤th = a
@ b = t' ²²
t = ab
(数学ⅡI・数学B 第1問は次ページに続く。)

15
(3)次に,太郎さんは (2) の考察をもとにして
1
を満たす実数t (t≠0) の値の範囲を求めた。
太郎さんの考察
t0 ならば、③ の両辺にを掛けることにより2>1を得る。
このような(t>0)の値の範囲は1くである。
t<0ならば、③ の両辺に掛けることにより, f1を得る。
このようなt (t < 0) の値の範囲は-1 < t <0である。
#RO
この考察により、③を満たすt (t≠0)の値の範囲は
-1 < t < 0, 1<t
であることがわかる。
ここで,αの値を一つ定めたとき, 不等式
logablogba
を満たす実数 b (6> 0, 6 ≠1) の値の範囲について考える。
④を満たすb の値の範囲は, a>1のときは
チ
0<a<1のときは
(3
ツ
である。
(4)
であり,
(数学ⅡⅠI・数学B 第1問は次ページに続く。)
チ
O
(0)
の解答群
0 < b <
@ = < b < 1₁ 1 < b < a
a
E
-
0 < b < a₁ 1 < b < 1/1
② a<b<1,1<b<1/12
a
テ
の解答群
1 < b < a
4
の解答群
① logpglog
② logpgloga
③ logpg < log
a
12
12
(4) = 1. . = 最とする。
か
r
q=
13
11'
次の⑩~③のうち,正しいものは テである。
0 0 < b < 1/1.
a
3ならば>
③/1/1
logp q logap logpr> log.p
かつ logpr < logrp
かつlogp>logp
かつ logpr < logrp
a<b
< b < 1, a <b
0 0 < b < a₁ 1. <b
a
③ a<b<1/12/<b

3|2
I
3
co
数をとると
値の範囲は,
①
①
2
の値を一つ定めたと
_) の値の範囲につい
(4) p=
12
(((i) 10 13
(i)
(3)より
logpg と log
とすると
a = q = 12
より
12
q= 1²,
また
すなわち
Jins
よって10gab> 10ga
a>1 のとき、
無作為 // <b<1またはa <b
が成り立つので
b-
- 1/2 = 1/3-1/2 > 0
r
の大小を比べる。
last (1)
12
log 13 >log] H
12
12
13
loga p> logpq
logpgloggp
E
al+{pa
14
= 1 とする。
b=
b = p =
とすると
は
が成り立つ。
(i) 10g と log の大小を比べる
(3)より
126 MOR
13
12
a=p= 13. 6=r=133
が成り立つので
12 (67
& 0<a<1のとき,
1-b = 12 - 11/12
al 13 Shop 14
a
13
=(1+1/2)-(1+1/3)
>0
=1-1>
12
13
14 01
20
0<b<a または 1 <b</1/2
A#

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

解答では、試行錯誤の過程は見せず、直接正解に至る道だけを見せます。
しかし、これは模範解答の罠であり、実際に解くとき、ほとんどの場合は試行錯誤が必要になります。
ということで、もちろん、自分で解くとなれば最初はa=p=12/13, b=q=12/11の場合を考えるでしょう。
このとき、0<a<1なので、0<b<a, 1<b<1/aが成り立つかどうかを調べます。
明らかにb>aですから0<b<aは成り立たないし、
b-1/a=12/11-13/12>0すなわちb>1/aなので、
1<b<1/aも成り立ちません。よって、log_a(b)>log_b(a)すなわちlog_p(q)>log_q(p)が成り立つとは言えません。
ということはおそらくlog_p(q)<log_q(p)なんだろうなと予想はつきますが、念のため自分の手で確かめておきましょう。
a=q=12/11, b=p=12/13
とすると…(以下略)

解答を理解するのもいいですが、自分で解くならどうするだろうかと、自分で考えることが大事です。自分で解き方や方針を考えられるようになると、解答の意図も理解しやすくなるでしょう。

この問題でも、a=p, b=qというおき方が「外れ」であることは実際にやってみればわかることです。

そういう意味では、解答は「ただ読めばいい」というものではありません。たとえ解答に書かれていなくても実際に自分で手を動かたり頭を働かせたりして少しずつ確かめながら理解するものです。

くう

ありがとうございます🙇‍♂️

Answer 2

まさ

a=p、b=qだと（3）で出した不等号が満たせなくなるからだと思います。
実際に当てはめてみると多分（3）の答えと合わないと思います。

くう

なるほど！ありがとうございます🙇‍♂️