Question

あやね

この問題で2枚目の赤のマーカーのところで「割り切れる」と言えるのは何故ですか？解が同じだからですか？

係数が実数の4次方程式x+ax+bx+cx+d=0
2
・① が 1±√3i を解にもつとする。
(1) {x-(1+√3i)}{x-(1-√3i)}=x-アx+イであるから,c,dはa,bを用いて
c=ウエb,d=オ a+ カ と表され、①の左辺は
(22_ア x+イ){²+(a+キ)x+(クa+b)} と因数分解される。
(2) 方程式 ① が異なる4つの解をもち、4つの解の積が16, かつ4つの解の和が1であるならば,
方程式①は
ぴ+ケー
x+ サシ=0 となる。
ア(
ウ
キ (
ケ (
2 )
)
)
)
イ(
I(
(
ク
コ (
3
)
)
)
)サ(
オ(
カ
)
間違いはすぐに確認して
基礎完成をめざそう!
の
8
9
10
11
12
13
15
1:

12
(1)
x+ax+bx+cx+d=0....... ①
{x-(1+√3i)}{x-(1-√3i)}
=x²-(1-√3 i)x-(1+√3 i)x+(1+√3i)(1-√3 i)
・･･･ア,イの (答)
=x²-2x+(1-3i²)=x²-2x+4
よって、①の左辺をx²-2x+4で割り算すると,
商: x2 + (a+2)x+ (2a+b)
余り : (2b+c-8)x-8a-46+dA
であり、割り切れるから、余りは0なので,
J2b+c-8=0
1-8a-4b+d=0 B
よって, c=8-26,d=8a+46 ウ、エ、オ,カの (答)
このとき, ①の左辺は,
(x² −2x+4){x² +(a+2)x+(2a+b)} ..... ‡, 50(1)
A
B
1²+(a +2) 1+(2a+b)
1¹-21+4) T
+ar
-2r²
(a+2)² +(6-4)²
ta
(a+2) x²-2(a+2) x² +4(a+2)x
(2a + b)²-(40-c+8)1
+bxl
+4x
ta
(20+b)x² -2(20+b)x+ (
(2b+c-8)x-8
余りの式において,
(xの係数)=0, (定数項) = 0

数ii 式と証明 複素数 因数定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

そこまでにわかっていることは
①は1±√3 iを解にもつから
①の左辺は(x-…)(x-…)つまりx²-2x+4で割り切れる
ということ。

いま①の左辺をx²-2x+4で実際に割って余りが出ました
その余りは0にならなくてはいけません

あやね

x²-2x+4は1±‪√‬3iを解にもつ二次方程式だから割り切れるってことですか？

和

x²-2x+4=0はx=1±‪√‬3iを解にもつ、から言えることは
x²-2x+4 = (x-(1+√‬3i))(x-(1-√3i))と因数分解されるということ

この4次式がx=1±‪√‬3iを解にもつ、から言えることは
この4次式が(x-(1+√‬3i))(x-(1-√3i))( 何かの2次式 )と因数分解されるということ
つまりこの4次式が(x²-2x+4)( 何かの2次式 )と因数分解されるということ
つまりこの4次式はx²-2x+4で割り切れるということです

あやね

理解出来ました！
ありがとうございました😊