Question

めがね

ケからお願いします！

46
AさんとBさんの2人が数列の問題について話をしている。 次の会話文を読んで,下の各問い
に答えよ。
Aさん: この前の授業で、次のような数列の問題を解くことになったんだ。
次のような数列がある。
******
ただし、分母がである分数は (2n-1) 個ある。
分母が8である項の最初から3番目の数を求めよ｡ 次に、この数列の第167 項
を求めよ。 さらに, 初項から第167 項までの和を求めよ。
この問題を解くのに. 数列の規則から、分母が8である項の最初から3番目まで書き上げ
て答えたんだけど. 第167項までは、時間が足りなくて書ききれなかったよ｡ もちろん和
も求めることができなかったんだ。
Bさん この問題の場合なら、分母が同じ項をまとめて1つの群として考えればいいんじゃない。
つまり, 第群には分母がである数が (2n-1) 個あり,
2n-1 2n-2
と並んでいるんだ。
n
n
n
だから、書き上げなくても, 分母が8である項は第8群にあって、 第8群の最初の数の分
子は2×8−1 = 15 だからとわかるよ。
分子の数は1ずつ減っていくので、分母が8である項の最初から3番目の数は12となるよ。
Aさん:なるほど、じゃあ, 第20群の25番目の数を考えると, 分母の数はアで,第20群
には
でも,こうも考えられるよね。 第20群の最後の数は第20群の
番
番目の数で､前か
ら25番目の数は,最後の数を1番, その手前の数を2番と数えると最後から
だから, その数の分子の数はエといえるね。
でも,この数列の第167項を求めるのはどうするの
25番目の分子の数は等差数列の考えを用いてゥだね。
個の数があり,
Bさん 第167 項が第何群の数かを考えればいいんだよ。
第k群には, (2k-1) 個の数があるんだから, 第1群から第n群の最後の数までは
1+3+5+ ...... +(2n-1)=オ (個)
の数があるよ。 つまり, 第群の最後の数は 与えられた数列の第 項だよ。 だか
ら,第167項が第n群の数だとすると,167
を満たす最小の自然数nを求めれ
ば、 第167 項が第何群の数かわかるよ。
167 を満たす最小の自然数nはカだから, 第167項は第[
Aさん: そうか,第ヵ群の最後の数はキだから, 第167 項は
わかったけど,和はどうやって求めればいいのかな。
カ ]群の数だね。
だね。 第167 項は
Bさんこれも群でまとめて考えればいいんじゃないかな。 つまり、第群の数の和を. 最後の
数から書くと
++
だよね。
Aさん:群ごとの和を使うのか。
2k-1.
k
(1)
(2)
この会話から数日後、AさんがBさんに話をしています。
AさんB さん, 群を用いて考える同じような問題を考えたよ。
数列
わかったよ。 この場合なら、第群の最後の数までの和はだから、初項から
第16項までの和は, だね。
1, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 9, 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 1.
がある。
(i) 8回目に現れるは第何項か。
(i) 初項から8回目に現れるまでの項の和を求めよ。
(この数列の第2020項を求めよ。
この問題も同じように解けるね。
エコに適する数を求めよ。
には,n を用いた式を求めよ。
クに適する数を求めよ。
ケには、kを用いた式を求めよ。
サに適する数を求めよ。
オ
月 8
(3)
(4)
(5) コ
(6) 下線部の問題 (i)を解け。
(7) 下線部の問題 (Ⅱ) を解け。
(8) 下線部の問題()を解け。
2.20-25
20
→25.
228
2.20-1-39
S
7 20 179 17.15 In (5.
Jua
13 1/1/1
15
2G
(= (1+1)=²
uz/17
0=07 15-169
2.13-1=

46
(1)
20 4
15
第20群の項数は 2×20-139 だから 39個
初39. 公差 1の等差数列の第25項だから
39+(25-1)-(-1)-15
(3) #
167
よって 分子の数は 15
最後の数は、39番目。
これを1番とするのだから最後の手前の数は、38
番目で2番となる。
よって、 25番目の数は最後から15番となる。
最後の数の分子は1で、手前になるにしたがって
1ずつ増えるので,分子の数と一致する｡
よって, 分子の数は 15
(2)
n²
1+3+5+ (2n-1)/(1+(2m-1))
13 1
13
² を満たす最小の自然数nを求める。
144
169
㎡の値は、nの値が大きくなるにつれ大きくな
るので,求める "は"13
12 のとき
13 のとき
39
(4) 2k-1
計量+
第167項は、第13群の最後から3番目の数だか
3
ら 13
+······+
-1+2
+ 2k=1
++(2k-1))
ウ 15
ク
-24¹(1+(2k-1)) - 2k-1
(5)
169
サ
(24-1)-224-21-n(n+1)¬n=x²
よって、 第13群の最後の数までの和は13169
第13群の最後の数は、 13'169 だから第169
項である。
第167項は、 最後の数から3番目の数だから. 初
項から第167頃までの和は
169-(+)-2194
2194
13
(6X7X8)
第群には第2回目に現れる1から. 次の1の
手前の数までが入るような群を考える。
つまり、
がある。
******
11,3,5 1 1, 3, 5, 7,91 1.3, 5, 7, 9, 11, 13 | -
(6) 8回目に現れる1は、 第8群の最初の数である。
第7群には、2×7-113(個) の数があるので
1+3 + + 13 +1 42 (1 +13) +1=50
ゆえに, 第50項
(7) 第群の数の和は
(21) 個の奇数
群には、1から順に
13
1+3+......+(22k-1)-1)
_2k¹(1+(4k-3)) = (2k-1)³
よって,初項から8回目に現れる1までの和は
(2k-1)2 +1-4-4 +1+1
T
-4.7-8-154.78 +7+1
7-8 (60-12)+8
W
78.48+8
-7-8-8+8=456
(8)第2020項が第群の数とすると、
後の数までの項数は
1+3+ (2m-1) 2(1+(2m-1)) ㎡
2020 ² を満たす最小の自然を求める。
44 のとき
1936
45のとき
2025
xの値は、xの値が大きくなるにつれて大き
くなるので､求めるは45
よって 第2020項は、第45群の数である。
第45群の最後の数は、 2025項で
2x (2x45-1)-1-177
よって、2020は、 最後の数から6番目の数
である。
したがって、 等差数列の考え方を用いて
177+(6−1)(−2)=167
以上より 求める数は 167
(別解) (9行目から続く)
第45群の最初の数は、 44'+1=1937 だから、
第1937項で1である。
よって、 第2020 項は、第45群の最初から84番
目の数である。
以上より 求める数は 2×84-1167