Question

Hi（受験生）

２番です、(α,β)=(-2,1)のときは(３枚目のように)上手くいかないから(α,β)=(1,-2)で計算しているのですか？

またbnが求まったらなぜ3枚目のように計算できるのですか？

基礎問
196 第7章 数
128 3項間漸化式
a=2, as=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an)
がある.
(1) Qn+2-Qan+1=β(an+1- can) をみたす2数α, B を求めよ。
(2) an を求めよ.
an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 f=pt+q の解をα, βとして,次の2つの場合があり
ます。
(I) α=β のとき
an+2=(a+β)an+1-aBan より
an+2-dan+1=B(an+1 - aan)
an+2-Ban+1=a(an+1 - Ban)
①より, 数列{an+1- dan} は,初項 α2-αa1, 公比βの等比数列を表すので
an+1-aan =β"-1(a2-aas)
......1'
......2'
精講
同様に,②より, an+1-Ban=an−1 (az-Bas)
①-②より,
(B-α) an=8-1 (a2-aas) a" (az-Bar)
B-1 (az-dai)-an-1 (az-Ba)
... an=
β-a
注実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数
列の性質を利用します. (本間がそうです)
(II) α=β のとき
an+2-αan+1=α(an+1-aan)
∴an+1-adn=an−1 (a2-aas)
つまり、数列{an+1-aan}は,初項 a2-aa1, 公比αの等比数列.
③ の両辺を α7+1 でわって
n≧2のとき,
よって,
an
n-1
k = 1 Q
ai
a
an+1
an
ak+1 ak
k+1
-=(n-1), a ₂-₁
1
n-1
an
a2aas
Q²
a₂-αa₁
q²
・③

(1) an+2=(a+β)an+1-aBan
与えられた漸化式と係数を比較して,
α+β=-1, aβ=-2
.. (a, B)=(1, -2), (-2, 1)
(2) (a,β)=(1,-2)として
an+2an+1=-2(an+1-an)
an+1-an=bn とおくと,
bn+1=-26
また,b=a2-a=2.. bn=2(-2)^-1
n≧2のとき,
n-1
An=a+2(-2)-1
k=1
=2+2.1-(-2)^-1
1-(-2)
これは,n=1のときも含む.
(別解) (α,β)=(-2, 1) として
解 答
...
an+2+2an+1=an+1+2an
an+1+2an=a2+2a1 よって, an+1=-2an+8
8
2
8 = -2(an-
3
3
したがって, an
ポイント
演習問題 128
an+1
8
3
=1/2/3 (4-(-2)^-1)
8
3
aｭ-
2
/²/7 (
-(-2)^-1
..
122
an=
123
-{4-(-2)^-1}
an+2=pan+1+gan 型は, 2次方程式t=pt+gの2
解α,βを利用して、 等比数列に変形し2項間の漸化
式にもちこむ
1m で表される数列{an}がある.
第7章

2) (α₁ B) = (-2, Harz.
Ant₂ = -2an+ 1 + an+1+2 an
ant₂ + 2ant1 = An+1 +2 an
anti+2an = bn edice.
brt₁ = bn #34 | bn | 17.
b₁ = A₂+2a₁ = 8
(α₁ P ) = ( 1₁ — 2/act.
Anta anfl
r
2 anti + 2an.
Ant² = anti = 2 (Onti — An )
-
-Anti-an = bn Edis E. Antz - ant1 = bn
#311 anti-an [ 17.
latt - 25%
1-P² A₂ - A₁ =
bn = 2(-2)^²-4
n=zarz.
an = a₁ + 1/3/12 (~2²1 +²1
=2+2.1-1-21m
|-(-2)
~ 31 3+1 -1 -2 1-² |
- 7/4-1-21²-1