数学
高校生

2番です、(α,β)=(-2,1)のときは(3枚目のように)上手くいかないから(α,β)=(1,-2)で計算しているのですか?

またbnが求まったらなぜ3枚目のように計算できるのですか?

基礎問 196 第7章 数 128 3項間漸化式 a=2, as=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an) がある. (1) Qn+2-Qan+1=β(an+1- can) をみたす2数α, B を求めよ。 (2) an を求めよ. an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 f=pt+q の解をα, βとして,次の2つの場合があり ます。 (I) α=β のとき an+2=(a+β)an+1-aBan より an+2-dan+1=B(an+1 - aan) an+2-Ban+1=a(an+1 - Ban) ①より, 数列{an+1- dan} は,初項 α2-αa1, 公比βの等比数列を表すので an+1-aan =β"-1(a2-aas) ......1' ......2' 精講 同様に,②より, an+1-Ban=an−1 (az-Bas) ①-②より, (B-α) an=8-1 (a2-aas) a" (az-Bar) B-1 (az-dai)-an-1 (az-Ba) ... an= β-a 注実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき an+2-αan+1=α(an+1-aan) ∴an+1-adn=an−1 (a2-aas) つまり、数列{an+1-aan}は,初項 a2-aa1, 公比αの等比数列. ③ の両辺を α7+1 でわって n≧2のとき, よって, an n-1 k = 1 Q ai a an+1 an ak+1 ak k+1 -=(n-1), a ₂-₁ 1 n-1 an a2aas Q² a₂-αa₁ q² ・③
(1) an+2=(a+β)an+1-aBan 与えられた漸化式と係数を比較して, α+β=-1, aβ=-2 .. (a, B)=(1, -2), (-2, 1) (2) (a,β)=(1,-2)として an+2an+1=-2(an+1-an) an+1-an=bn とおくと, bn+1=-26 また,b=a2-a=2.. bn=2(-2)^-1 n≧2のとき, n-1 An=a+2(-2)-1 k=1 =2+2.1-(-2)^-1 1-(-2) これは,n=1のときも含む. (別解) (α,β)=(-2, 1) として 解 答 ... an+2+2an+1=an+1+2an an+1+2an=a2+2a1 よって, an+1=-2an+8 8 2 8 = -2(an- 3 3 したがって, an ポイント 演習問題 128 an+1 8 3 =1/2/3 (4-(-2)^-1) 8 3 aュ- 2 /²/7 ( -(-2)^-1 .. 122 an= 123 -{4-(-2)^-1} an+2=pan+1+gan 型は, 2次方程式t=pt+gの2 解α,βを利用して、 等比数列に変形し2項間の漸化 式にもちこむ 1m で表される数列{an}がある. 第7章
2) (α₁ B) = (-2, Harz. Ant₂ = -2an+ 1 + an+1+2 an ant₂ + 2ant1 = An+1 +2 an anti+2an = bn edice. brt₁ = bn #34 | bn | 17. b₁ = A₂+2a₁ = 8 (α₁ P ) = ( 1₁ — 2/act. Anta anfl r 2 anti + 2an. Ant² = anti = 2 (Onti — An ) - -Anti-an = bn Edis E. Antz - ant1 = bn #311 anti-an [ 17. latt - 25% 1-P² A₂ - A₁ = bn = 2(-2)^²-4 n=zarz. an = a₁ + 1/3/12 (~2²1 +²1 =2+2.1-1-21m |-(-2) ~ 31 3+1 -1 -2 1-² | - 7/4-1-21²-1

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