方程式の共通解についてです。

数学

高校生

解決済み

2年以上前

三角チョコパイ

方程式の共通解についてです。

①なぜ、わざわざ‪α‬に置き換えて解くのでしょうか？xのままで解いてはいけない理由を教えてください。

②2つの二次方程式をイコールで結んで解いてはいけないのは何故ですか？連立で解く時とイコールで結んで解いていい時、ダメな時を教えてください。

③x²+x+k=0をk=-x²-xの形にして2x²+kx+4=0に代入して解く方法はだめなのでしょうか？そしたら、場合分け？をしなくていいと思うのですが。

④ただ1つの共通の実数解をもつようにと書いてありますが、D=0で考えてないのはなぜですか？重解との違いがあるなら教えてください。

これらが分からないので教えてくださいm(_ _)m

重要例題 00000 79 方程式の共通解 2つの2次方程式 2x2+kx+4=0,x2+x+h=0 がただ1つの共通の実数解をもつように、定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 1基本 75

重要例題 79 方程式の共通解 00000 2つの2次方程式2x²+kx+4=0x2+x+k= 0) がただ1つの共通の実数解をもつように、定数kの値を定め、その共通解を求めよ。基本75 CHART SOLUTION 方程式の解 x=α が解⇔ x=α を代入して方程式が成り立つ 2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=α を代入した 2a²+ka+4=0,²+α+ k = 0 が成り立つ。これを α,たについての連立方程式とみて解く。実数解という条件に注意。解答共通解を x = α とすると 2a²+ka+4=0 ...... ①, a2+a+k=0 ...... ② ①②×2 から (k-2) α+4-2k=0 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 よって (k-2)(a-2)=0 ゆえに k=2 または α=2 [1] k=2 のとき 2つの方程式は, ともに x2+x+2=0 となる。その判別式をDとすると D=1²-4・1・2=-7 D<0 であり、実数解をもたないから, k=2は適さない。 [2] α=2 のとき ② から 22+2+k=0 このとき2つの方程式はゆえに k=-6 2x2-6x+4=0 ...... 1', x²+x-6=0..... 2' となり,①'の解はx=1, 2 ②'の解はx=2, -3 よって,確かにただ1つの共通解 x=2をもつ。 [1], [2] から k=-6, 共通解はx=2 x=α を代入した ① と ②の連立方程式を解く。 α² の項を消す。 ◆共通の実数解が存在するための必要条件であるから逆を調べ十分条件であることを確かめる。 ax²+bx+c=0 の判別式はD=62-4ac <-2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0

回答

✨ ベストアンサー ✨

和

2年以上前

①方程式がもつ2解のうち1つは共通解で、1つは共通でない解だから、xのままだとどちらの解の話をしているのか混乱の元になる場合があります
別にxのままでは絶対にダメというわけではないと思います

②2つの2次方程式を=で結んで解くというのがピンとこないのですが、そのような問題の具体例を教えてください

③実際にやってみれば質問することもないと思いますが、3次方程式になります。これが解けるならそれでもいいです

④判別式=0はあくまで1つの2次方程式が重解をもつときに限る話であって、2つの2次方程式の共通解の話までは直接カバーしていません
適用範囲外のことに勝手に過剰適用することになります

三角チョコパイ 2年以上前

①問題文には2つの二次方程式がただ1つの実数解をもつようにとしか、記載されていませんが、両方とも2つの解を両方もっているというのは暗黙の了解みたいなものですか？2つの方程式は1個ずつ共通の解を持っているのではなく、2個の方程式の解を合わせて、3個か4個の解を持っているという前提なのでしょうか？

②2x²+kx+4=x²+x+kを移項させて解く感じです。

③解けなくはないですが、すごく計算で手間がかかりますね😅パターンによって簡単な方法を使い分けるべきですね。

④そうなのですね。ありがとうございます。

和 2年以上前

①そんなことは問題文には書いていません
（それぞれの方程式が何個解をもっているかはわからないが）2つに共通する解が（0個でも2個でもなく）1個あると言っているのです
1個目の解がx=4,5で2個目がx=4,6かもしれないし
1個目の解がx=4(重解)で2個目がx=4,6かもしれないし

日本語の問題です
わかりにくい文かもしれませんが、慣れた人なら誤読しない程度には読み取れる文です

②それはこの問題の話でしょう？
そうじゃなくて、一般に2つの2次方程式を=で結んで解くような問題ってピンとこないけどそんなのがあるなら持ってきてと言っているんです
ふつうはそんなことしないよ、これまでしたことある？　と言っているんですね
2次方程式の問題じゃないものを勘違いしているかなにかだと思います
2次関数の問題とかじゃないですかね

三角チョコパイ 2年以上前

①2解と仰っていたので、勘違いしてしまいました。まともに勉強してこなかったので、手間のかかる質問をさせてしまいすみません💦

②ちゃんと文を読んでなかったです。問題をほとんど解いたこともないし、=で結べる根拠もなく共通解という言葉だけで勝手に=で結んだら解けるかな？っと思っただけです。=にして解いてみたら、よく分からないことになりまますが、もしかしたら解答に載っていないだけで別のやり方があるのではないかと。それで違うならダメな理由は？ =で解けないから連立で解くということであっているのか？などと思い質問させていただきました。
分かるのでしたら、良ければ教えていただきたいですm(_ _)m

おかしな文章になっていたらすみません。

和 2年以上前

①単に2解と言ったら
(1)x=4,5
(2)x=4(重解)
の両方を含みます
(1)の場合だけを言うときは「異なる2解」と言います

②そもそも2つの2次方程式の左辺を=で結んでみようというのは「何となく」の発想です
天才ならいざ知らず我々凡人はまず正しい方法をコツコツと積み重ねて習得していくのが王道で、「何となく」はダメです
「何となくやったらダメだった、なぜダメなのか」はもっとレベルを上げてから考えるべき、とても難しい問いです。真面目に積み上げてきたものがないと「ダメな理由」はなかなか理解できるものではありません

一般にf(x)=g(x)を解くというのは曲線y=f(x)とy=g(x)の共有点のx座標を求めるということであって、f(x)=0とg(x)=0の連立を解くのとは異なります
また、本問はf(x)=0とg(x)=0の連立を解くというほど単純ではありません
ただ1つ共通の解をもち、重解でなく他の解があるとすればそれは共通の解ではないという複雑な条件がついているからです