Question

しょーみ社長

写真(3)の問題です。1行目
通常余りをax^2+bx+cと置くと思うのですが
解説ではa(x+1)^2+bx+cと置いていました。
最終的に簡単に解を導くために置いてるとは思うのですが、
勝手に(x+1)とおいてもいいのでしょうか。
a(x+1)^2+bx+cと置いても良い理由を教えてください
よろしくお願いします。

の整式P(x) をx-1で割ったときの余りが2であり, (x+1) で割ったときの余りが
2 +5であるとする.
(1) P(-1)を求めよ.
(2) P(x) を (x-1)(x+1) で割った余りを求めよ。
(3) P(x) を (x-1)(x+1) で割った余りを求めよ.
(3) 求める余りはa(x+1)^2+bx+C とおける
この時
P(z)=(x-1)(x+1)^Q(x)+a(x+1)^2+bx+C
= (2+1)^{(2-1) 01 (2) + α } + £x + c
x+
bx
これは、P(x)を(x+1²で割った余りがbx+c
であることを意味する
よって本文仮定より1=2.C=5
またP(1)=2より
2 = 4A + b + C →→ A = - =—
よって解答は、一条(ス+パプ+22+5
(D)=(D)X

Answer 1

Crystal Clear

3次式で割った余りだから2次以下の多項式で
ax^2+Bx+C
などと置ける。これを(x+1)^2で割ると商はaで余りは1次以下の多項式だから
a(x+1)^2+bx+c
となる。
このように全ての2次以下の多項式は
a(x+1)^2+bx+c
の形で表せます。

しょーみ社長

ご回答ありがとうございます。
質問なのですが…
3行目、これを(x+1)^2で割ると商はaで余りは1次以下の多項式だから…という点において、a(x+1)^2-2ax-a+bx+cであればax^2+Bx+C＝a(x+1)^2-2ax-a+bx+cとなり単なる式変形であると納得いくのですが…
3行目部分があまり納得いかなかったので今一度説明していただいてもよろしいでしょうか。申し訳ございません…

Crystal Clear

そのような式変形の解釈でいいです。

「通常余りをax^2+bx+cと置くと思うのですが」
とあるのは、2次以下の多項式がすべてax^2+bx+cの形にかけるからです。
しかし、この形以外にも、2次以下の多項式はすべて
A(x+1)^2+Bx+C
の形でも書くことができます。
実際、
ax^2+bx+c=a(x+1)^2-2ax-a+bx+c=a(x+1)^2+(b-2a)x+(c-a)
と書けるし、逆に(当たり前ですが)
A(x+1)^2+Bx+C
も展開すればax^2+bx+c
の形で書けます。
だからこの意味で、2次以下の多項式の一般形として
A(x+1)^2+Bx+C
と置いてもいいわけです。