数学
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広義積分の定義について質問です。

マセマの微分積分では、画像に示した箇所のように、極限値が存在するものを広義積分として定義しています。しかし、ネットで検索したところ、一般的には極限が発散する場合も広義積分に含まれるような印象を受けました。

極限値の存在の有無を気にせず(=画像の棒線部は無視して)、これらの極限の形をしているものを広義積分として捉えても良いのでしょうか?

また、もし画像の定義に何らかの意図が感じられる場合は、その内容について軽くでも構いませんので教えていただけると助かります。

不連続関数は広義積分で攻略しよう! 積分区間の端点が不連続な関数は,それが有界か, 有界でない (±∞に 発散する) かに関わらず,次の “広義積分” を利用する。 広義積分の定義 (1) 区間[a,b) で連続な関数f(x) について, lim fo" f(x)dx が極限値をもつとき, それを広義積分 ∫f(x)dx と定義する。 (2) 区間 (a,b] で連続な関数 f(x) について, lim f" f(x)dx が極限値をもつとき, c→a+0~ それを広義積分 ∫f(x)dx と定義する。 lim f(x)dxy=f(x) 有界で x ない c-b X lim f" f(x)dx y=f(x) c+a+0Jc 有界 a ac b XC
無限積分も極限で決まる! 積分区間が (−∞, b] などとなる“無限積分” は次のように定義される。 無限積分の定義 区間 (−∞,∞) で定義される関数f(x) について, (I) lim / f(x)dx が極限値をもつとき, それを無限積分 f(x)dx と定義する。 8 (ⅡI) lim S"f(x)dx が極限値をもつとき, q→∞ 8 それを無限積分 ∫f(x)dx と定義する。 lim S" f(x)dx - -P lim 948 a y=f(x) b S'"f(x)dx 9 XC y=f(x) 0x
微分積分 微積分 解析学 広義積分 積分

回答

✨ ベストアンサー ✨

その認識で差し支えないかと思います。

「極限値が存在しないときは広義積分じゃない」ということではなく、広義積分という言葉自体は極限値の存在非存在に関わらず使います。例えば1枚目の(1)で極限が存在しないときは、「この広義積分は収束しない/存在しない/発散する」などと言います。これを「これは広義積分ではない」と言うのはおかしいです。

画像にある定義は、「広義積分」や「無限積分」という言葉の定義ではなく記号「∫[a, b] f(x) dx」や「∫[a, ∞] f(x)dx」の定義と捉えると良いかと思います。定義によれば、これらの記号は「極限値(極限の値)」を表すので、極限が存在しない場合には意味をなしません。

サスケ

回答ありがとうございます。
なるほど。広義積分という語の使い方、理解の助けになりました。

> 定義によれば、これらの記号は「極限値(極限の値)」を表すので、極限が存在しない場合には意味をなしません。

この部分がよくわからなかったので、教えていただきたいです。
極限が例えば正の無限大に発散したら、それはそれで意味のある結果のような気がします。
それを記号に反映させて、
∫[a, b] f(x) dx=∞
と表記することには何か問題があったりするのでしょうか?

crane

特に問題ありません。

正(あるいは負)の無限大に発散することを、
∫[a, b] f(x) dx = ∞(あるいは-∞)・・・(★)
と書いて表現することもしばしばあります。

サスケ

丁寧に説明していただき、ありがとうございました。
おかげさまで疑問を解決することができました。
m(_ _)m

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