Question

あ

不定積分の問題です。
なぜ赤線のように置換するのか、教えていただきたいです。

(4)
S
t
よって da
dt
dx
(x+1) ²³/1-x²
14
(-x)
1+2
4
したがって(与式)=
を求めよ。
J
1+x
+²+1=
( 7
-4t
(+²+1/²
f ².21 ((1+²+₁²) "
-4 t
S
2t
dt
(ピナリン
-1 とおくと
1-X ³² - ( ²2² ² + 1 ) ² + ² (7²1).
1
1+2
2
()()(()
(+²+₁ j² ( ² (2+₁) ²
2
+ (1-² +¹) √ EX
+3
£ + (t+1) dt = - + + ² = 1 + + l
=
t t
t
+ (x++))
3
172
Fy 2 =
t
c
2
2
t²+1
+ C

不定積分 置換積分 積分 無理関数 高校数学

Answer 1

Crystal Clear

普通は分母の√を見て、
x=cosθ
と置換するでしょう。すると
∫-1/(1+cos²θ)dθ
となります。三角関数の有理関数になったので、万能なワイエルシュトラス置換
t=tan(θ/2)
をするのが自然な流れです。よく知られているように
cosθ=(1-t²)/(1+t²)
となります。
この2段階の置換を1つにまとめると
x=cosθ=(1-t²)/(1+t²)
になって、今回のxからtへの置換になります。
つまり、よくある置換積分2回分をまとめた置換だと言えます。