Question

たたた

正の約数の個数が20個である最小の自然数を求めよ」
という問題で、(□+1)×(△+1)＝20となる□と△の組み合わせを求めてから写真のようにある素数の指数(△と□)が導けるところまではわかったのですが、なぜ2^9×3^1⋯①といったように指数の底まではっきりと求められるのですか？例えば①に関しては5^9×7^9のような別の素数が底になる場合も考えられますよね？
どなたかご説明お願いします。

素数 : 2,3 5,7,11,
31.2°
(1+1)(9+1) 個
自然数 = 1536
51.31
●
24
I
III
33.24
(3+1) (4+1) 個
自然数 = 432
2
19
(1+1)(1+1) (4 + 1) 個 ( 19 + 1 ) 個
自然数 = 240 (最小)
自然数 = 524288
2075!

約数の個数が20個の自然数
2 x 10
4 x 5
2 x 2 x 5
20
若
al

約数

Answer 1

ろだもん

最小の自然数を求めよなので可能な限り小さい素数から順に底としないと、最小の自然数とは言えないからです。
(5や7や11を底としたとしても画像と同じように指数が大きい数を最小の数(この場合5)から始めて計算してあげれば結果が最小になる計算式a^1×b^1×c^4という組み合わせ自体はでてきますが、5,7,11よりも小さい素数が存在するため、その結果が条件を満たす最小の自然数とはいえません。)

5^9×7=13671875
5^4×7^3=214375
5^4×7×11=47125　←5,7,11で計算するときに最小になる指数の組み合わせは出てくるがその結果は最小ではない。
5^19=19073486328125