2x²-x-6≧0
(x-2)(2x+3)≧0
x≦-(3/2), 2≦x
-x²-6x+27<0
x²+6x-27>0
(x-3)(x+9)>0
x<-9, 3<x
x²+6x+9>0
(x+3)²>0
x<-3, -3<x
x²+8x+16<0
(x+4)²<0
これを満たす実数xは存在しない
(解なし)
以上のようになります。
ポイントを書いていきます。
まず、因数分解ができることが必須です。
2x²-x-6=(x-2)(2x+3)
x²+6x-27=(x-3)(x+9)
x²+6x+9=(x+3)²
x²+8x+16=(x+4)²
こういうのを全て因数分解と言います。
因数分解ができるようになるには、展開や因数分解の公式をきちんと覚えていることが重要です。
展開とは因数分解の逆の作業のことなので、展開の公式と因数分解の公式のどちらも覚えておけば逆を考えれば両方覚えられるということです。(実際はそうとも限らないのでちゃんとどちらも覚えておくことをオススメします。暗記するのではなく実践練習していくうちに覚えていくのがいいです)
試しに因数分解の公式をいくつか紹介します。
am+an=a(m+n)
x²-a²=(x+a)(x-a)
x²±2ax+a²=(x±a)²
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
などです。
先程も言ったように、これを逆にする(左辺と右辺を入れ替える)ことで展開の公式が得られます。
例えば、最初の
am+an=a(m+n)
の左辺と右辺を入れ替えてみると
a(m+n)=am+an
になりますね。これは展開の公式の1つであり、分配法則と呼んだりもします。
他の4つについても同様に左辺と右辺を入れ替えてあげれば展開の公式になるという訳です。
1次式や2次式だけでなく、3次式にも展開や因数分解の公式があったりします。以下のようなやつです。
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
ですが、2次式の因数分解ができなかったり、不等式が解けないというのであれば、これを覚えるよりもまずそっちを優先させるべきです。
展開は出来るだけ多くの和の形にすること、因数分解は出来るだけ多くの積の形にすることです。(和とは足し算の結果、積とはかけ算の結果のことです。結果というよりは答えと言った方が分かりやすいかもしれません)
すなわち、展開の場合は括弧を完全に無くし、因数分解の場合は括弧を出来るだけ増やすことを目的とする訳です。
先程の因数分解の公式を見てほしいのですが、右辺には全て括弧がついていますね。このことからも、因数分解が括弧を増やすものであるということが分かるはずです。
2次式の因数分解の公式では左辺にも括弧が使われていますが、括弧の中身を見てみるとa+b, ad+bcなど、xと関係ないもの(xを含まないもの)しかありませんよね。この因数分解ではxに着目しており、a, b, c, dは全て定数として扱われているので問題ないのです。(変化しない数のことを定数と言います。分かりにくいですが、要するにa, b, c, dは普通の1や2や3などの数と同じような感じなんだ、と覚えてもらえれば十分です)
1次式や3次式の因数分解の公式ではxに着目しておらずaやbも定数として扱っていないので紛らわしいですが。
ちなみに、1次式や2次式や3次式などと言うのは「文字の最高次数」のことを指します。次数と言うのは、噛み砕いて言えば「文字が最高で何乗されているか」ということです。ここで言う文字と言うのは同じ文字でもいいし、違う文字でもいいし、とにかく文字なら何でも構いません。例えば、aやbが定数でなく文字だとして、a²が2乗されているということは分かると思うのですが、abなども2乗されているとして見做せるということです。(次数以外の場合にこんな見做し方が出来るかどうかは微妙ですが)
そんなこと言ったらacx²は4乗されてるんだから2次式じゃなくて4次式じゃないか！と言うかもしれませんが、先程も言った通りaやcは文字ではなく定数です。定数ではなく、あくまで文字に注目するべきなのです。
次数は、展開されているときの方が分かりやすいことが多いです。ですが、因数分解のときは「次数の和」で全体の次数を考えることができます。
例えば、x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)について。
何度も言っている通りここではaやbは定数として考えているので、文字はxだけです。展開式(ここでは左辺のような式)の場合は「各項の最高次数」、すなわち「各項のうちどの項の次数が一番高いか」について考えてあげればいい訳です。(展開式のようにいくつかの和の形になっているとき、その足されているものそれぞれを「項」と呼びます。例えばab+cd+eという式があれば、ab, cd, eの3つそれぞれが項になるという訳です)x²の項は次数が2, (a+b)xの項は次数が1, abの項は次数が0。よってx²の項の次数である2が一番高い次数なので、この式は2次式という風に分かります。同じように、因数分解した後の式(ここでは右辺のような式)についても考えてみましょう。
先程も言った通り、因数分解のときは「次数の和」に注目します。すなわち、「x+a」「x+b」それぞれの次数に注目しましょう。これは当然、どちらも1ですよね。で、それらが掛け合わされているので1+1=2となり、この2が全体の次数になるというわけです。当然ですが、因数分解される前後で次数は変わっていないということが確認できますね。
で、公式は覚えても実際にどうやって解けばいいんだ、という話になると思うのですが、これは実際にやっていって感覚で覚えていくのが一番早いと思います。だから因数分解は出来るだけたくさんやった方がいいですね。因数分解できるならそこまでやる必要もないですし、むしろ他のことやった方が効率的な気もしますが、でも因数分解をやりすぎたからと言って無駄になるとかいうことはなく、後々の計算ミスが減ることにも繋がるので裏切りはしません。
それぞれの式をどうやって因数分解するのかは後で書こうと思います。
因数分解は出来るけど不等式が解けないだけだ、と言うならこんなに長ったらしい説明をしてしまって申し訳ないです。
次に重要なのは、「x²の係数を正にする」ということです。正とは+(プラス)の数、負とは-(マイナス)の数のことです。例えば
-x²-6x+27<0
これはこのままだと分かりにくいですよね。なので、
x²+6x-27>0
という風に、両辺に-1をかけてあげればいいのです。(両辺とは左辺と右辺のことです)
こうすることで、因数分解もしやすくなります。
ここで注意するべきなのは、「不等式は負の数をかけると不等号が逆転する」ということです。
ここでも-1という負の数をかけているので、不等号を<から>、というように逆転させなければいけません。
正の数をかけるときは逆転せずそのままで問題ないです。
もしくは、「反対の数を足す」という考え方でもいいかもしれないです。反対の数とは、ここでは正負をひっくり返した数という意味です。
-x²-6x+27<0
これの両辺に-(-x²-6x+27)=x²+6x-27を足してあげると
0<x²+6x-27
すなわち
x²+6x-27>0
となり、同じ形になりますね。
「移項する」という考え方でもいいかもしれませんが、ここではこっちの考え方の方が分かりやすそうです。
次に、先程も言ったように、実際にどのように因数分解すればいいのか、ということについて触れていきます。
2x²-x-6=(x-2)(2x+3)
x²+6x-27=(x-3)(x+9)
x²+6x+9=(x+3)²
x²+8x+16=(x+4)²
これですね。
まず最初の
2x²-x-6=(x-2)(2x+3)
ですが、これは先程の因数分解の公式
acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
を使います。すなわち、ac=2, ad+bc=-1, bd=-6となるようなa, b, c, dを探してあげればいい訳です。
これを探してあげると
a=1, b=-2, c=2, d=3があてはまることが分かります。よって、因数分解の公式を利用して先程のように因数分解ができるという訳です。(a=2, b=3, c=1, d=-2のように、aとc, bとdが入れ替わった状態でも構いません。その場合は(x-2)(2x+3)が(2x+3)(x-2)になりますが結局変わらないですよね。ただし、aとcが入れ替わっているときは必ずbとdも入れ替わっている必要があります。「aとbの組」と「cとdの組」を入れ替える、と言った方が分かりやすいかもしれません)
そんなの探したって見つかる訳ないじゃないか！と思うかもしれませんが、上手く探し出して見つける方法があるんです。それが、たすきがけです。
たすきがけについては、やり方などをここで説明していると長くなりすぎてしまいますので割愛させていただきます。このClearのアプリ内のノートにもあると思いますし、ご自分で調べてみてください。(もう十分長すぎるじゃないか、というツッコミは無しでお願いします笑)
次に
x²+6x-27=(x-3)(x+9)
ですが、これは先程の因数分解の公式の
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
を使いました。すなわち、足して6になり、かけて-27になる2数を探してあげればいい訳です。これは-3と9なので、このように因数分解ができるのです。
この
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
というのは先程の
acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
という式を包含している(包含とは含んでいるということ。要するにa=c=1にすれば使っている文字は違うけど実質的には下の式は上の式と同じになる)ので、たすきがけでやることもできますが、x²の係数は頭の中でやった方が早いと思います。
最後に
x²+6x+9=(x+3)²
x²+8x+16=(x+4)²
この2つですが、これは先程の因数分解の公式の
x²±2ax+a²=(x±a)²
を使います。これはaを当てはめるだけなので分かると思います。
言い忘れてましたが、ここでは±は複号同順で使われています。複号同順については上手く説明できないのでご自分でお調べください…と言いたいところですが、一応説明すると「プラスでもマイナスでもどっちでもいいけど、1つがプラスのときは他もプラス、1つがマイナスのときは他もマイナスじゃないとダメよ」ということです。±にそもこも「プラスでもマイナスでもどっちでもいいよ」っていう意味があります。複号同順の対義語には「複号任意」があります。これは「1つがプラスのとき他はマイナスでも別にいいし、1つがマイナスのとき他はプラスでも別にいいし、とにかくなんでもいいよ」って意味です。複号というのは「複数の記号」ということで、ここで言う「記号」とはすなわち「±」のことです。このプラスマイナスだけでなく、マイナスプラス(±をひっくり返したような、マイナスが上に来てプラスが下に来るような記号)が使われることもありますが、そもそも変換で出て来ませんしそんなに多く登場するような話ではないので割愛させていただきます。興味があるなら何度も言っている気がしますがご自分でお調べになってみてください。脱線しましたが、複数と言うのですから当然2つ以上ないとダメです。±(もしくはマイナスプラス)が2つ以上あるときに使われる言葉です。
最後に、因数分解した後にどうすればいいか。
(x-2)(2x+3)≧0→x≦-(3/2), 2≦x
(x-3)(x+9)>0→x<-9, 3<x
(x+3)²>0→x<-3, -3<x
(x+4)²<0→解なし
について説明します。
上2つについては、
(x-a)(x-b)>0→x<a, b<x
(x-a)(x-b)<0→a<x<b
を使います。≦や≧のときも同じです。
これは、y=(x-a)(x-b)のグラフをイメージしてもらえば分かると思います。a<x<bのときx軸よりも下、すなわちy=(x-a)(x-b)が負になるし、逆もまたしかりですよね。
まぁこれも経験を積んで覚えていった方が早いと思います。
ちなみに、2x+3のようにxの係数が1でないときも、2で割ればx+(3/2)、すなわちx-{-(3/2)}になり、「x-a」や「x-b」と同じ形になるので問題ないです。
次に、下2つについては「実数は2乗すると0以上になる」ことを利用します。
まず、(x+3)²>0について。
ほとんどの場合(x+3)²>0になりますが、1つだけ(x+3)²=0になる場合があります。それは、x+3=0,すなわちx=-3のときです。だから、すべての実数からx=-3だけを取り除いてx<-3,-3<xが答えになるということです。
最後に(x+4)²<0についてですが、x+4は実数であり、2乗して0より小さくなる訳がないので、こんな不等式を満たす実数xは存在しません。こういうときは一般的に「解なし」と書きます。
(なぜ実数であること前提で話しているのか疑問に思うかもしれませんが、そもそも虚数とは架空の概念であり、問題文中で述べられていない限り考慮する必要はありません)
以上より、大切なことは
①因数分解ができること
②x²の係数を正にすること
③因数分解した後で不等式がどのように解けるのかを覚えておくこと
ですね。この3つが分かれば不等式は問題なく行けるはずです。
途轍もなく長くなってしまって申し訳ありません。あれもこれもと脱線していった結果このようになってしまいました。次回からはもう少し簡潔な解答を心がけようと思います。
応援しています！頑張ってください！
長文本当にありがとうございます🙇♀️🙇♀️
詳しく書いていただいてありがとうございます!!