Question

𝘠𝘢𝘮𝘢𝘵𝘰.

写真の例1と例2が線型空間になっていることを確かめよ。という問題なのですが、どのように記述すればいいのかが分からないです。
回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

例 1. 関数 V を定義域が実数全体 R であるRに値を取る関数全体を考え
る。 関数 fg の加法f+g は、 r∈Rに対して値を (f+9)(r)=f(x) + g(x)
とする関数として定める。 スカラー倍α f は、 値を (a.f) (z) = a.f(x) と

して定める。 いずれも右辺がなじみのある数式だろうが、 左辺は加法とスカ
ラー倍を強調して使っている記号である。 定義域は実数全体である必要はな
く、共通のものならばかまわない。
例2. 数列 V. を項が実数である数列全体とする。 {an}={Q0,01,...,an,...}
がVの元である。 加法は{bn}={bo, b1,・･・, bn,...} と書いておいたとき、
{an}+{bn} = {40 + bo,01 + bi,..., an + b,,...} とする。 スカラー倍は
a.{an}={aao, a01,..., Qam,...} と定める。 要するに項ごとに加法とスカ
ラー倍をするのである。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

「線形空間になっている」とは、言い換えれば、「線形空間の定義を満たす」ということです。

おそらく線形空間の定義式はその前のどこかに書いていると思うので、その定義式を確かに満たしているということを言えばいいです。

例えば、定義が
a,b∈V ⇒ a+b∈V
とかであれば、
f,g∈V ⇒ f+g∈V
が成り立つことを示せばいいです。

記述例
f,g∈Vのとき、x∈Rに対して、f(x),g(x)∈Rであるから、f(x)+g(x)∈Rである。
よって、(f+g)(x)=f(x)+g(x)∈Rより、
x∈Rに対して、(f+g)(x)∈Rが成り立つので、
f+g∈V
が成り立つ。

𝘠𝘢𝘮𝘢𝘵𝘰.

ありがとうございます😭😭
授業が全然分からなくて困ってたのですが本当に助かりました🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️
また質問することがあると思うのでお時間があればお答えしていただけると嬉しいです😭✨

寒

大学の授業は難しいものが多いですよね。
特に数学は、最初は何を言ってるのか意図も目的もさっぱり、みたいな順序で進むのでつまずきやすいところです。乗り越えられれば意図や目的が見えてきて面白くなるんですが、そうなるまでの道のりが長いのが問題なんですよね。
わからないことがあれば、ぜひ質問してください。できる限り、理解が進むよう補助したいと思います。

𝘠𝘢𝘮𝘢𝘵𝘰.

ありがとうございます🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️
大学数学が楽しいと思えるようにがんばっていきます🔥🔥
いつもホントに助かってます🙇🏻‍♀️