Question

あやね

高３ 数学 数学的帰納法の問題で、赤の矢印の式が比べる対象としてどのように出てくるのか分かりません。
なぜ3/(k+1)³と(k+1)²を引くのでしょうか。

90
252
nは自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次の不等式を証明せよ。
(1)* 1²+2²+32 4......
·+n² < (²
(n+1)³ ||! (A)
3
この不等式を(A)とする。
(1) n=1のとき、左辺=1 右
[+ m2 < PE
8
3Y0 EAN
[2n=4のとき(A)は成り立つ。すなわち、
(k+1))
3
よってn=1のとき(A)は成り立つ。
1² + 2 ² + 3² + 1 + $ ²<
が成り立つと仮定するとw=x+1のとき、同也
の差は、
(1²+2²+ 3² + 1 + (k+1)²}
14
(11/2)

ときの
3)*
よって、n=3のとき, (A)が成り立つ。
[2] k≧3として,n=kのとき (A)が成り立
つ, すなわち
3*>5k+1-703 $SA S
が成り立つと仮定する。
n=k+1のときの(A) の両辺の差を考えると
3*+1-(5(k+1)+1)=3-3-(5k+6)
>3(5k+1)-(5k+6)
=10k-3>0
すなわち 3 +1 >5(k+1)+1
よって,n=k+1のときも(A) が成り立つ。
[1] [2] から、3以上のすべての自然数nについ
て (A)が成り立つ。
252 証明すべき不等式を(A) とする。
(1) [1] n=1のとき
8
左辺=12=1,右辺=(1+1=
3
+=
よって, n=1のとき, (A)が成り立つ。
[2] n=kのとき (A)が成り立つ, すなわち
(k+1)a
1² +2²+3²+ +k² <.
·
が成り立つと仮定する。
n=k+1のときの(A) の両辺の差を考えると
(k+2)³ _{1²+2²+-+k² + (k+1)²}
3
> (k+ 3
(k+2) ³ (k+1)³
(k+1)
3
-(k+1)²
>2√√k+1-2√k
2 (vk+1)^2-2
√k
=
(2k+1)-2√F
√k+1
すなわち
+√3/2 +
1+
よって,n=k-
[1], [2] から す
成り立つ。
(3) [1] n=1のと
左辺=√1.2
よって, n=1
[2] n=kのとき
√1.2+√2-
が成り立つと
n=k+1のと
(k+2)²
2

数学的帰納法 帰納法 数b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

沢木陽織

その上の1^2+2^2+…k^2<(k+1)^3/3の仮定を用いて式変形しています

あやね

最後の(k+1)²は何処からですか？

沢木陽織

1^2~(k+1)^2まで引き算しているので、1^2~k^2の部分まで上の仮定を適用して、(k+1)^2はそのまま残っています

あやね

理解できました！
ありがとうございます！