Question

さこ

青チャの例題102の⑴についてです。
指針の部分に『接点をもつならば重解をもつ』という説明があると思うのですが、
まだ私には[1]2点で接する[2]1点で接する場合で、
判別式を使うかつかわないかどう判断しているのかよくわかりません。

接するということは『その部分に2個同じ座標を持つ点が集まっている』ということですよね？

D＝0のとき『1点で接する』のではなく『2点で接する』理由を分かりやすく教えてください！

重要 例題 102 放物線と円の共有点・接点
放物線y=x2+αと円x2+y2=9について,次のものを求めよ。
(1)この放物線と円が接するとき,定数aの値
(②2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
名
156
指針 放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針
共有点 実数解 接点重解
解答
x2=y-a
(1)y=x2+αから
これを x2+y2=9 に代入して
よって
x2+y-a-9=0
ここで, x2+y2=9から
[1] 放物線と円が2点で接
する場合
2次方程式 ① は ② の範囲
にある重解をもつ。
よって, ① の判別式をD
とすると
D=0
D=12-4・1・(-a-9)
で考えればよい。
この問題では, x を消去して, yの2次方程式 (y-a)+y2=9の実数
解,重解を考える。放物線の頂点はy軸上にあることにも注意。
(1) 放物線と円が 接する とは,円と放物線が共通の接線をもつこと
である。この問題では,右の図のように,2点で接する場合と1点
2点で接する
で接する場合がある。
(2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たすαの値の範囲を見極める。
(y-a)+y²=9
①
x2=9-20
[1]
......
a=-
a=-
y
3
O
9
37
4
13
37
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点 (0, 3), (0, -3) で接する場合で
以上から、求めるαの値は
37
±3
4
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは、右の図
ゆえに
[2]
=4a+37
10004 37
であるから 4a+37= 0 すなわち α=-
4
このとき, ①の解はy=-1となり,②を満たす。
x
a=±3
-3≤y≤3
a=-3
YA
3
O
00000
▲ x を消去すると,yの2次
方程式が導かれる。
3
基本95
1点で
接する
3
y=-
a=3
WA
-3 0
-3
カ
2次方程式
by2+gy+r=0 の重解は
9
2p
頂点のy座標に注目。
ま

円と直線 放物線 接点

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HIROBA〜

一点で接する場合は
図で考えたほうがわかりやすいから
図にしていると思います。
また、二つ目の図の場合、共有点は3個あるので、それを条件にするのがめんどくさいということもあると思います。

二点で接する場合は、一つ目の図のように、接点でのy座標は等しいことと
その座標は図からは読み解けないことから
判別式をつかうのだと思います。

さこ

解答ありがとうございます！
1点で接する場合は判別式はどうなるんでしょう？