Question

ひまわり

数学Aの約数と倍数の写真の問題の赤線が引いてあるところがわからないです。わかる方教えてくれるとありがたいです🙇‍♀️💦

30の約数となるような自然数nのうち最大のものを求めよ。
[類 12 龍谷大〕
204 (1)
(2) 30! を計算したとき, 末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
並ぶ
205nを自然数とするとき 2n-1と2n+1は互いに素であることを示せ。
03+1+0 [15 広島修道大 ]
206a,b,c を正の整数とする。
(1) d² を3で割った余りは0または1であることを示せ。
(2) d'+b2=c^ を満たすとき, a, bの少なくとも一方は3の倍数であることを
示せ。
[類 12 関西大〕

テーマ
割り算の商と余り
条件より a=4k+2
201
①を②に代入すると
について解くと
よって
b=4(2k² +2k-1)+2
2k²+2k-1は整数であるから を4で割った
余りは 2
2821
202
→ Key Point [85]
D.
²-26=81② (k, 7は整数)
(4k+2)^²-26=81
b=8k²+8k+2-47
テーマ
「正の約数の個数 → Key Point [82]
12"= (22-3)"=22.3" であるから, 12" の正の約
数が28個のとき。 (2+1)(n+1)=28
整理すると 2²3-27=0
203 テーマ
すなわち
(2n +9)(n-3)=0
は自然数であるから n=3
204
最大公約数 最小公倍数から2数の決定
→ Key Point [84]
xとyの最大公約数が8であるから, xとyは
x=8a, y=8b と表される。
ただし, a とは互いに素で, a <bである。
このとき、xとyの最小公倍数は8ab であるか
すなわち ab=60
ら 8ab=480
ab=60, a < b を満たし、 互いに素であるα, b
の組は
(a,b)=(1,60),(3,20), (4,15),(5,12)
よって、条件を満たす自然数の組(x,y) は全部
で4組ある。
テーマ
末尾に並ぶの個数 → Key Point [80]
205 テーマ
(1) 1,2
,30のうち,
5の倍数の個数は、30を5で割った商より 6個
52の倍数の個数は, 3052で割った商より1個
よって, 30! の素因数5の個数は全部で
6+1=7 (個) である。
ゆえに, 5" が 30! の約数となるような自然数n
のうち最大のものは n=7
(2) 30! を計算したとき, 末尾に並ぶ0の個数は..
|素因数5の個数と等しいから. (1) より
7個
互いに素であることの証明
-> Key Point 84
2n-1と2n+1 の最大公約数をg とすると
2n-1=ga, 2n+1=gb
解答編
(a,bは互いに素である自然数)
と表される。
この2式からを消去して 2=g(b-a)
2-1<2n+1 より b-a>0であり, g, a, b
は自然数であるから
または 2
21, 2n+1は奇数であるからも奇数であ
る。
よって
g=1
ゆえに, 2n-1と2+1の最大公約数は1であ
るから, 2n-1と2n+1は互いに素である。
206
テーマ
3で割ったときの余りについての証明
(1) 正の整数nを自然数として3n-2.
31.3 のいずれかで表される。
a=3n-2のとき
a²=(3n-2)² =9n²-12n +4
→ Key Point [86] [87]
=3(3²-4n+1) +1
a=3n-1のとき
²=(3n-1)=9n2-6n+1一日
=3(3n²-2n) +1
テーマ
割り算の余り
a=3nのとき
a²=(3n)²=3.3n²
よって,²を3で割った余りは0または1であ
る。
(2) 623で割った余りも0または1である。
よって, 42, 62 はα²=3k+re, b2=31+ro
(k,lは整数
と表すことが
は0または1)
できて
a2+b2=3(k+1)+
7 +7 の値は右の表のようになる。 01
a2+b2=c^ を満たすとき, c2 を
01
1
12
3で割った余りは0または1である
から, () は (0,0),(1,0),(0, 1) のいず
れかである。
したがって, 42, 62 の少なくとも一方は3の倍
数であるから, 4, b の少なくとも一方は3の倍
数である。
207
55
nをmで割ると7余るから
n=km+7 (k≧0) ...... ①,
m > 7 ...... ②
n+13はmで割り切れるから
n+13=lm (10) ......
③
km+7+13=lm
0
Key Point [85]
m=10,20
①③から
すなわち
(1-k)m=20
これと②から,mはm > 7 を満たす20の約数
である。
よって

約数と倍数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Rei

末端に0が並ぶ→つまるところ2×5の組み合わせが存在すれば良い

2なんていくらでもありますので5の数を探せば自然と末端に並ぶ0の個数が分かります

30！＝…×5×…×10×…×15×…20×…25×…×30
よって30！は5を7個持つから末端の0の個数は7個

ひまわり

ありがとうございます！！