Question

美 優

217(2)の解説をお願いします。
(1)は理解できましたが、(2)は答えを見ても分かりません。🙇🏻‍♀️

217 次の和Sを求めよ。
*(1) S=
(2)
·+······+·
S=2+5+5+8+811+
2･5
5･8 8・11
S=1+1+2+1+²+3
+
1
(3n-1)(3n+2)
+
+1+2+3+.
1+2+3+･･･...+n

(2)
1
k(k+1)
1
= 2(+-+-)
=20
信
k
k+1
であるから
s=2 (1-1) + ² ( - ) + ² (3-1)
S=
2
2
2
3
+･･････ + 2
+ 2 ( = - = + 1)
n
2n
=2
= 2/1
(1
n+1
n+1
1
1 + 2 + 3 + .....+k 1
-
= 2.-
n+1) =
2
k(k+1)

Answer 1

村人B

2は数列の和を求める問題ですが、数列自体に注目してみましょう。

分子はずっと1、分母はｎ番目にn個というようになっています。

そこで、第k項に注目してみましょう！
というのも、nの部分をkに置き換えるだけです。
その置き換えたものが、右写真の1番上の式となります。

分母は、1からkまでで、初項1、末項k、項数kの等差数列なので、この等差数列の和は、
1／2 ×k×(k+1)←【等差数列の和の公式から】

よって、第k項は
1➗ 1／2 ×k×(k+1) ※右写真の式参照
となり、分母にも分子にも2をかけて
2／k(k+1) となる。

この後は下の写真参照です！！

そして、写真の第k項に1、2、…nまで代入し、
2×-1／2と2×1／2が0となって消えるように、消える部分がかっこの右側と左側のセットなんだなと分かります。1番左のカッコは2×1分の1は相方がいないため消えず、最後の2×-1／n＋1も相方がいないため、消えずに残り、送ってくださった右の写真の1番下の式になり、分母を合わせて展開したら求まります。