Question

みみさん。

矢印のとこの計算過程を教えてください！！

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第1章
式と証明
指針等式、不等式の証明 (1)を利用して, (2)を証明する。
(1) 右辺をaについて整理してから展開する。
(2)(1) の等式の右辺 ≧0 を示せばよい。
a²+ b³ + c²-ab-bc-ca= ((a−b)² + (b-c)²+(c-a)²)
2
を利用する。
(1)
(a+b+c)(a²+ b²+c²-ab-bc-ca)
= {a+(b+c)}{a²-(b+c)a+(b²-bc+c²)}
=a³-(b+c)a²+(b²-bc+c²)a+(b+c)a²-(b + c)²a
+(b+c)(b²-bc+c²)
=+{(6²-bc+c2)a- (62+2bc+c)a}+b+c3
=a+b+c-3abc
よって
a+b+c-3abc=(a+b+c)(a²+b+c-ab-bc-ca)
(2)
a+b2+c-ab-bc-ca
26 (a²-2ab+b²+ b²-2bc+c²+c²-2ca+a²³)
2
=1/{(a-b)²+(b-c)2+(c-a)2}≧0
また, a+b+c>0であるから
(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) ≥0
よって, (1)から
a³ + b³ + c³-3abc ≥0
ゆえに
a³ + b³ + c³ ≥3abc
等号が成り立つのは a-b=0かつb-c=0かつc-a=0 より
a=b=cのときである。
a+b+c-3abc の因数分解
a³ + b³ + c³-3abc=(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc
参考
解答
p.:
4

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みと

(2) a²＋b²＋c²－ab－bc－ca

　＝(1/2){2a²＋2b²＋2c²－2ab－2bc－2ca}

　＝(1/2){a²＋a²＋b²＋b²＋c²＋c²－2ab－2bc－2ca}

　＝(1/2){a²－2ab＋b²＋b²－2bc＋c²＋c²－2ca＋a²}

という感じです

みみさん。

ありがとうございます！！