Question

あゆ

解説を見ても全く解き方が分かりません
わかりやすく解説して頂けませんか

29 |a|<1, |6|<1, |c|<1 のとき,次の不等式を証明せよ。
2 abc+2>a+b+c
3変数への
拡
張
ab+1>a+b
ポイント4 (2)は, (1)を3文字の場合に拡張した不等式。
本間では,(1)を利用して,(2)を導くことができる。

解答(1) ab+1-(a+b)=(b-1)a-(b-1)
29 la<1, 16|<1, Ic|<1のとき,次の不等式を証明せよ。
25 4
解 編
13
(2) abc+2>a+b+c
(1) ab+1-(a+b)=(b-1)a-(b-1)
=(a-1)(b-1)
a-1<0, b-1<0
la<1, b<1から
Ila<1@-1<a<l
(a-1)(b-1)>0
ab+1>a+b
|ab|<1
ab.c+1>ab+c
すなわち ab+1-(a+b)>0
f
よって
1b<1金-1<b<L
したがって
(2) lal<1, |b|<1から
よって,(1)から
また Ic<1
土むー
- (1) の不等式を利用
abc+1>ab+c
の
土8-
すなわち
la<1, |b|<1から,(1)により
ab+1>a+b
2
abc+ab+2>ab+a+b+c
0, 2 の辺々を加えて
したがって
abc+2>a+b+c
SCHO
Snei

数ii 不等式の証明 3変数への拡張 式と証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(1)
左辺-右辺＞0であることを証明していきます
左辺-右辺
＝ab+1-(a+b)
＝(a-1)(b-1)

|a|＜1という条件から、-1＜a＜1
|b|＜1という条件から、-1＜b＜1
という範囲が出てきます。
両方ともそれぞれに-1をすると、
-1-1＜a-1＜1-1　→　-2＜a-1＜0
-1-1＜b-1＜1-1　→　-2＜b-1＜0
のように、a-1やb-1は0より小さくなることがわかります。
つまり、
a-1＜0、b-1＜0　であることが言えるのです。

(a-1)×(b-1)は負×負なので、必ず正になるから、
(a-1)(b-1)＞0
であることが証明されたので、
ab+1-(a+1)＞0　だから
ab+1＞a+b
も証明された、ということです。

ここまでわかりますか？

あゆ

回答ありがとうございます。
そこまでは解説していただき理解できました。
宜しければ(2)も解説していただくことは可能ですか。

きらうる

すみません。送れました。(2)です
いかがですか

あゆ

わかりました！！！！
わかりやすい解説ありがとうございました₍ᐢ.ˬ.ᐡ₎ .ᐟ