Question

Y.M

新スタ演の問題です。
(2)の解説がイマイチよく分かりません。どなたか解説お願いします。

角形 PAB, 三角形 PBC,三角形 PAD の面積の比
辺 BC の長さは 5,辺 AD の長さは2であり,ニ
は,1:5:2である。PA=a. PB=6 とし,各設
問に答えなさい。
(1) CD=[ア]a-[イ]である。また,0
a·b=[ウ]である。
(2) 三角形 PCD の面積は[エである。
(3) 直線 ADと直線 BC の交点をRとすると,
PR=[オ]a+カ]6 である。
(15 明治大。経営)
10-14
座標平面の原点を O(0, 0)とする.以下
の問いに答えよ。
GO20
(1) 座標平面上の異なる3点 P, Q, Rが
OP-RQ+|OR|2-OR·OQ=0
を満たしているとする.このとき RPIRQ とな
ることを示せ、
(2) 点Qの座標を(3, 4)とし,点Rは
1OR|=1 を満たしているとする。さらに,
|OP|<1を満たすすべての点Pに対して
OP-RQ+|OR|2-OR·OQ<0
が成り立っているとする. このとき点Rの座標
(17 岡山大·文系)
を求めよ。
O

丘辺を変形。整理する。問題文から RP·RQ に
ゴ1-26|2-{(-5a)·(-25)}?
なるはず。
(2)(1)の過程から,求めるものは「RP-RQ<0が
三P62-(a-b)?
TOP|<1を満たすすべてのPに対して成り立つ」よう
なRである。図形的に,RF と RQのなす角が鈍角,と
言いかえると考えやすい(ロコメントの図).
(1) 条件式の左辺は
2
2
=5
36
10
9
92
3
解)
D=10APAB. 辺の長さの比を用
E. PD
OP·RQ+OROR-OR·OQ
APAB=5·2APAB と導く
PB
=OP-RQ-OR·(OQ-OR)
=OP-RQ-OR·RQ=(OP-OR)·RQ
=RP·RQ
25)。
D(-25)
であるから,RP·RQ=0, すなわち RPIRQである。
A
3
P
B
(す)
(2) 線分 OQ と単位円周Cの交点をR(-
5
と
R
C
(-5a)
し,RにおけるCの接線を1とする.以下,求めるR
がR'であることを示す。条件式は
が1
RP-RQS0
である。
RがR'のとき,円C(内部
を含む)とQはしに関して反
対側にあり,1LRQであるか
ら,円C内の点Pに対して
RP と RQのなす角は 90°以上
(またはP=R')となり,①は成り立つ。
C上にR'以外の点Rをとると,ZRRQ>90°より
ZR'RQ<90° となり,RR'·RQ>0. よって,①でP=R
(このとき 1OP|\1)とした式が成り立たず, R' 以外の
R は不適となる.
4
代入すると,10l-2=1+!
5→
4
a+
3
R)
3
方:
'R
3
*sinZAOB
C
1-cos? ZAOB
B?-(OA-OBcos ZAOB)?
ニ=1:5
2
A
P
3
4
従って,R()
11%
5
R
B
5
vo
Rを1つ固定し, RQ·RP<0
を満たすPの範囲を図示すると右
図網目部となる。.つまり, |OP|ハ1
を満たすPがすべて網目部に含ま
れる。一方,Rは |OR|=1を満た
す点であったから, Rを含む半径1
の円が網目部に含まれる,というこ
とである。従って,その円はRで境界線に接している
しかない。
である。
R