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応用問題ですね. (4)はかなり工夫が必要です.
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(3)64a^6-b^6
=(8a^3-b^3)(8a^3+b^3)[次数が偶数なので, まずはA^2-B^2=(A-B)(A+B)]
=(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)[A^3±B^3=(A±B)(A^2∓AB+B^2)]
=(2a-b)(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)(4a^2+2ab+b^2)
[別解]
64a^6-b^6
=(4a^2-b^2)(16a^4+4a^2b^2+b^4) [先にA^3-B^2=(A-B)(A^2+AB+B^2)を利用すると]
=(2a-b)(2a+b){(4a^2+b)^2-(2ab)^2} [ここが難所. 複2次式であることに注意しよう.]
=(2a-b)(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)(4a^2+2ab+b^2).
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(4) すべて展開すると爆発するので, 最初の項を放置して様子見という方針でやります.
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3
=(a-b)^3+{(b-c)+(c-a)}{(b-c)^2-(b-c)(c-a)+(c-a)^2} [A^3+B^2=(A+B)(A^2-AB+B^2)を使っています]
=(a-b){(a-b)^2-(b-c)^2+(b-c)(c-a)-(c-a)^2} [共通因数(a-b)が出てきましたね]
=(a-b)[{(a-b)+(b-c)}{(a-b)-(b-c)}+(c-a){(b-c)-(c-a)]} [A^2-B^2を使えば楽になります. この見極めは経験も必要でしょうか?]
=(a-b){-(c-a)(a-2b+c)+(c-a)(a+b-2c)} [共通因数(c-a)が出てきました]
=3(a-b)(b-c)(c-a).
[訂正] タイプミスが多くて申し訳でないです. 読めば分かるとは思うのですが
A^3-B^2, A^3+B^2となっている部分はすべてA^3-B^3, A^3+B^3に修正してください.
また
=(2a-b)(2a+b){(4a^2+b^2)^2-(2ab)^2} [ここが難所. 複2次式であることに注意しよう.]
と^2が一箇所抜けています.
丁寧にありがとうございます！わかりやすいです！
[(4)のコメント]
因数定理を利用すれば見通しがよくなります[習った後に読んでください].
P(a, b, c):=(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3とします. P(a, a, c)=0なので(a-b)を因数に持つことが分かります.
a, b, cを適切に入れ替えてもPは不変で(a-b), (b-c), (c-a)を因数に持つといえます.
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実はx^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)を利用すればすぐに結果は得られます.
X=a-b, Y=b-c, Z=c-aとするとX+Y+Z=0です. したがってX^3+Y^3+Z^3-3XYZ=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)=0です.
これから(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)であることが分かりました.
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最後の手法は高1のこの時点ではかなり難しいと思いますが, これから役に立つと思うので紹介しておきました.
いずれも式の対称性が活きていることに注意してほしいです.