Question

寧々

三角比の問題(3)が分かりません。どういう考え方で解けるのか教えていただきたいです。
よろしくお願いします🙇‍♀️
(一応(1)(2)は写真のように解きました。)

9 [東北大]
2次方程式4x2+2x-1=0の2つの解を α, β (α>β) とする。
(1) α= cos0 となる角が,TOST の範囲に1つだけ存在することを示せ。
以下, 0 は (1) で定まるものとする。
(2) β=cos20 であることを示せ。
(3) 0の値を求めよ。
30
(4) sin を求めよ｡
4

E
4x²+2x-1=0
**
*>p $1
025 A
da
0 < tak < -23 +1
- 1²/134 = 18/6
4
4
** +++ / p = ++/6
4
As
4
05日となる角が号の範囲に1つだけ存在する
2 cos² 0 = 1 + cos20
COTO
cos² 0 = 1 + cos20
2
cos20 = 2005 ²0-1
2
=
2 (=[^/5-) ² - 1
2.1-25+5
8
-2√5 +6-8
8
-2√5-2
4
8
³
"

三角比

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

説明をきっちり書かないとかなり減点されると思います. 特に(1)の一意性のチェックは厳しくされるでしょう.
(3)は(1),(2)からの流れを掴んでいないと解けないでしょう. 方程式の解α, βの問題ですから...
(4)はcosθあるいはcos2θに近づける発想力が要求されます. ここは試験本番なら出来なくても落胆する必要はないでしょう.
***
(1)xについての2次方程式4x^2+2x-1=0を解くとx=(-1±√5)/4なのでα=(-1+√5)/4, β=(-1-√5)/4である.
2<√5<3から不等式0<1/2<(-1+√5)/4<1/2⇔cos(π/2)<α=cosθ<cos(π/3)が成り立つ.
区間π/3≦θ≦π/2でcosθはθに関して単調減少することに注意すると[これがただ一つ存在することの根拠になります],
θはπ/3とπ/2の間にただ1つあるといえる.
***
(2)倍角公式からcos(2θ)=2cos^2θ-1=2{(-1+√5)/4}^2-1={(3-√5)-4}/4=β.
***
(3)(2)の結果と解と係数の関係からcosθ+cos2θ=-1/2, cosθcos2θ=-1/4がいえる[積和か和積のどちらがよいか考えよう].
積和の公式から後者はcosθ+cos3θ=-1/2と書ける. すなわちπ/3≦θ≦π/2の範囲でcos3θ=cos2θとなるものを求めればよい.
これは和積の公式からsin(5θ/2)sin(θ/2)=0で, (1)よりπ/6≦θ/2≦π/4, 5π/6≦5θ/2≦5π/4なので5θ/2=π⇔θ=2π/5と一意に決まる.
***
(4)sin(3θ/4)=sin(3π/10)=sin(π/2-π/5)=cos(π/5)と書ける. 鋭角であることに注意すれば, 半角公式から
sin(3θ/4)=cos(π/5)=√{(1+cos(2π/5))/2}=√{(3+√5)/8}=√{(6+2√5)/4^2}=(1+√5)/4.

LUX SIT

[訂正]
(1) 2<√5<3から不等式0<"1/4"<(-1+√5)/4<1/2⇔
(3) すなわち(1)よりπ/3≦θ≦π/2の範囲でcos3θ=cos2θとなるものを求めればよい.
とし, 下の(1)よりをトル.
としてください.

寧々

丁寧に解説してくださり、ありがとうございます。とても分かりやすかったです。一意性に気をつけた答案を心がけたいと思います。