Question

k

数Bの数列の問題です。なぜ青いマーカーのような形になるのか分かりません😢

次の和Sを求めよ。
S=1·1+3-2+5-2°+7-2°+ +(2n-1). 2"-1
76
各項力
一
(等差数
S=1-1+3-2+5-2°+7-2°+
この等式の両辺に2を掛けると
解答
……+(2n-1).2"ー1
の形。こ
S
2S=
1-2+3-22+5-2°+… +(2n-3)·2"-1 +(2n-1).2"
を計算す
辺々引くと
の公比)。
IS=1+2(2+2?+2°+…
2(2"-1-1)
よって
-S=1+2.
-1(2n-1)-2"
2-1
=ー(2n-3).2"-3
S=(2n-3).2"+3
ニ
したがって

数b 数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

菅原蓮

S＝1·1+3·2+5·2²+7·2³+······+(2n-1)2^(n-1)
これは等差数列と等比数列の積です。
このような等差数列×等比数列の式は、等比数列の公比を掛けることでズラして差をとると上手くいきます。
Sに公比である2をかけるとどうなるでしょうか。3·2は3·2²に、5·2²は5·2³に……。

S 1·1 3·2 5·2² 7·2³……(2n-1)2^(n-1)
   ↘  ↘   ↘      ↘
2S  1·2  3·2²  5·2³…………(2n-3)2^(n-1)

一つずつ斜めにズレるので、(2n-1)が(2n-3)になるんです。
最後にSの末項の(2n-1)2^(n-1)に2を掛けると
(2n-1)2^nになるので、青いマーカーのような形になります。