Question

こち

なんで答えは2X+aを分子分母に作るのではなくX+a/2を分子分母につくっているのですか？

私は2X+aを分子分母に作って進める(写真三枚目)と思っていたのですがこれではダメなのですか？？

7.
関数 f(x) =
x+4
2x+a
25
の逆関数が、もとの関数 fx)とー致するという。このとき,定数aの値
160*
を求めよ。
ズ+Y
とう3
→ 例題21
エトa)-ス-a

x+4
160 y=2xta
とする。
ma nll
a
x+
2
a
a
+2
2
4
x+4
1
2
a
x+
2
2x+a
a
2
a
4
ソ=ー
a
x+
2
であるから
2
a=8のとき,yは定数関数となり,逆関数は存
在しないから
aキ8
このとき yキ
mi e
(2y-1)x=-ay+4
ーay+4
2y-1
12x+a)=x+4より
1
アキーであるから
X=
milS
lax+4
2x-1
mil
これがもとの関数と一致するとき、
よって,逆関数は
-ax+4
2ァー1がxについての恒等式となる。
オ+4
2x+a
両辺に(2.x-1(2.x+a)を掛けて, xについて整理
すると
2a+1)x"+(a°-1)xー4(a+1)=0
a+1=0, a'-1=0
a=-1
よって
これらを解いて
II

と一致するという。このとき,定数aの値
→ 例題21
ズta)-ス-aty
_2t4
22+Q
2エ+a
ーメームry )
歩 5xra

Answer 1

lv0043

だめということはないと思います。以下の説明が正しいか自信はないですが、解説に対比するように書いてみました。

y= (x+4)/(2x+a) ----(1) とおいた場合、
y= (x+4)/(2x+a) = (-x-a+4)/(2x+a) + 1 となり、
(-x-a+4) = 0 となる場合、y = 1 の定数関数となり逆関数が存在しなくなるので x≠4-a
分母の2x+a に x=4-aを代入すると 2(4-a)+a = 8-a となり、これも0となってはだめなので 8-a≠0 。つまり、a≠8 。
a=8のときのyは、y=(-x-8+4)/(2x+8) + 1 = -(x+4)/2(x+4) + 1 = 1/2 なので、a≠8のときy≠1/2。

あとは、(1)より y(2x+a) = x+4
x(2y-1) = 4-ay
x= (4-ay)/(2y-1)
よって逆関数は f⁻¹(x)= (4-ax)/(2x-1)

あとは、f(x)=f⁻¹(x) となるというので、
(x+4)/(2x+a) = (4-ax)/(2x-1)
2(1+a)x² + (a²-1)x -4(1+a) = 0
つまり、1+a=0 かつ a²-1=0 なら左辺は0 となるので、
a=-1