Question

ピッピー

一対一対応の数学の質問です！？の部分がよく分からないので教えて下さい！

43, ……)どうしに成り立つ漸化式,つまり, a2h+1 を 42k-1で表す式を立てて解き,もとの漸化式に戻っ
nの奇偶で形が異なる漸化式は, n=2k-1, n=2kとおいて, 奇数項(a,
13 奇偶で形が異なる漸化式
n
(n=2, 4, 6, …)
n+1
(n=1, 3, 5, …), an+1=an+
2
次のように定められた数列がある。
=1, an+1=ant
]である。
ag=
AG=
(1) 2=
ag=
である。
(2) a39
A40=
である。
(明大·農)
(3) 初項から第40項までの和は」
奇偶で形が異なる漸化式
て a2 を求める。.
■解答
1+1
-=2, a;=02+
2
2
=3,
2
(1) a=1より, az=a+
5+1
4
-=7, as=as+
=10, a,=as+。
2
3+1
-=13
a4=s+-
=5, as=a4t
2
2
(2)n=2k-1のとき,
(2k-1)+1
a(2k-1)+1=2k-1
42=2k-1+k
2
の
2k
n=2kのとき,a2k+1=@28+
=2k+k
2
の, のより,C24+1=424+k=(a2k-1+k)+k=a2%-1+2k
n22のとき,
令奇数項についての漸化式を立て
て奇数項を求める.偶数項は奇
数項からすぐに分かるので,議
項についての漸化式は立てる。
要はない。
C2n-1=4+(as-a,)+(as-as)+…+(@2n-1-2n-3)
n-1
n-1
=a+と(2+1ー2k-1)=1+ 2 2k=1+2· (n-1)n
k=1
k=1
=n?ーn+1 (n=1のときもこれでよい)
3)
のから, a2n=42n-1+n=n"+1
3, ④でn=20 として, as9=20?-20+1=381, a:0=202+1=401
(3) 3, ④より
20
20
2(a2nー1+a2n)=X (2n?-n+2)
n=1
n=1
=2-20-21-41-20-21+2-20=5570
n
a2a= na
k=1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

なむる

a[2k+1]=a[2k-1]+2kより、
a[2k+1]-a[2k-1]=2k・・・※
です。

例えば、k=2のとき、a[5]を求めてみましょう。

a[5]
=(a[1]-a[1])+(a[3]-a[3])+a[5]
=a[1]+(a[3]-a[1])+(a[5]-a[3])
=1+2+4
=7

一見突飛に見えるかもしれませんが、これは、
※から、「数列aの奇数番目だけを取り出した数列の一般項を、階差数列の考え方を用いて求めている」だけにすぎません。画像の③の一行上の最初の式を見てください。階差数列の一般項を求める公式と本質的に同じ式があることがわかりますね。

ピッピー

分かりやすい説明ありがとうございます！理解出来ました！