Question

まる

場合分けする時に、
1枚目の問題の方は定義域の中央の値と軸に着目していて、2枚目の問題の方は定義域と軸に着目しているのですが、この違いって何ですか？

2 O 変数のおき換え 変域が変わる に注意すると
基本 例題14ク 三角関数の最大最小(2) …文字係数を含む
指針>前ページの基本例題141 と同様に,2次関数の最大·最小問題に帰着させる。
22:
OO0
2-sin'o(-505)の最大値をaの式で表せ。
リ=2a cos 0+
基本 141
まず、cos の1種類の式で表し, cos0=x とおくと
ソ=x?+2ax+1
0Sx<1
したがって,0<x<1における関数 y=x°+2ax+1の最大値を求める問題になる。
よって,軸x=ーaと区間0<x<1の位置関係で,次のように 場合を分ける。
軸が区間の[1] 中央より左側
2
[2] 中央と一致
[3] 中央より右側
1種類で表す
CHART 三角関数の式の扱い
sin
→ COs の変身自在に sin'0+cos'0=1
解答
y=2acos0+2-sin'0=2acos0+2-(1-cos'0)
=Cos°0+2acos 0+1
Asin'0+cos°0=1
い Acos0 だけで表す。
Cos 0=x とおくと
y=x°+2ax+1
Tπ
s0S;であるから
0Sx<1
の
4xの変域に要注意!
f(x)=x°+2ax+1とすると
リ=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=-a
f(x)=(x+a)°+1-a°
(8
(Oの範囲における
ソ=x°+2ax+1 の最大値
を求める。
また区間のの中央の値は
軸
最大
F(0)=1, f(1)==2a+2
-aく-
1
すなわち a>--のと
a1
1
2
(軸が、区間①の中央より
x
左側。
2
0
最大値は
f(1)=2a+2
2]
1
[2]\y=f(x)
軸
1
すなわち
2
ーーのとき
(軸が,区間のの中央と一
-a=
2
最大 ン最大
致。
最大値は
f(0)=f(1)=1
13] -a>-
0 1
1
2
x
すなわち a<--のとき
(軸が,区間のの中央より
右側。
最大値は
f(0)=1
よって
のとき 2a+2,
xお最大
軸
答えでは,[2] と [3] をま
a>
とめた。
ハーーのとき 1
<とき
ー1のとき
0
a1
2
x

練習
©142
co'0tashuo(-0
)の最大値をaの式で表せ。
ソ=cos°0+asin0=(1-sin°0)+asin0
=-sin?0+asin0+1
mie
そsin0 だけで表す。
ソ=ーx+ax+1
V3
sin0=x とおくと
V2
SxS
2
nie-1)
-番505年であるから
O 変数のおき換え
変域が変わることに注意
3
4
2
2
a
f(x)=-x"+ax+1とすると
f(x)=-(x-)
a°
+1
4
2
ゆえに,y=f(x)のグラフは上に凸の放物線で,軸は直線
x=" である。
nie kるあり
2
V3
すなわち a<ーV3 のとき
S0aia
[1] <-
2
最大
V3
で最大となり,その最大値は
0%3D0
X=ー
2
--で
2
Onie
イーリー-(-号)+イ-号)1--9の
V3
3 2
V3
0aia
a
X
1
at-
4
3
2
1
2
ニー
2
2
2
V3
V2
すなわち -V3 <a<\2 のとき
a
2
2
2
最大
x=の で最大となり, その最大値は )=4+1
a
a
2
V2
a
V2
X
すなわち /2 <aのとき
2
2
22
2
V2
で最大となり,その最大値は
X=
2
[3] 最大、、0
小)--(
V2
V2 2
12
+a
I
1
V2
I
1
1
2
1
V3
三
2
at
2
2
L
2
X
Y2 a
[1]~[3] から
a<-3のとき -a+-
V3
22
2
a°
-/3 sa<、2 のとき
4
2Saのときa+。
2
13
1
練習
Sla

三角関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

やまな

これは三角関数というよりかは、二次関数で説明した方が良いと思いましたので、数学Iの赤チャートより問題を抜粋して説明させていただきます。

添付した写真をご覧ください………と言いたいところだったのですが。
すみません、三枚までしか写真が入らなかったので、
三枚目を読んだ後に、以下の文章をお読みください。

軸が定義域に含まれる場合、最小値は軸の値となるので、定義域内のどこに軸があっても最小値は同じです。しかし、軸が定義域外に出てしまうと、左より外側に出た場合と、右より外側に出た場合で、最小値が異なってくる。
よって、下に凸のグラフ場合、最小値は軸と定義域に注目して答える必要があります。

この問題は、下に凸のグラフの問題だったので、最大値は軸と中央値に、最小値は軸と定義域に注目して場合分けをしました。
ただ、上に凸のグラフの場合、グラフの形が上下反対になりますから、逆に最大値は軸と定義域に注目して、最小値は軸と中央値に注目して場合分けをします。

同じように最大値を求める問題でも、上に凸と下に凸で上記の理由から場合分けの仕方が異なるのです。

……納得していただけましたでしょうか？
わたしが二次関数で、特にこの、軸に文字入りの最大値最小値の値を求める問題で、めちゃくちゃ苦労した人間でして、身に覚えのありすぎる質問に勝手に共感してしまい、こんな長くてくどい回答に………。
それでもわからなかったら、また質問いただければお答えします。
最後に、本当にくどくどと長々とすみません💦
少しでもお役に立てていればうれしいです。

まる

丁寧にありがとうございます。
めちゃくちゃ分かりやすかったです。
疑問点が解消されていって理解出来ました！！
グラフの形、軸の位置が重要になってくるんですね😌

Answer 2

たこ焼き

考え方は一年生の2次関数の最大最小と同じですよ。

1枚目は0≦x≦1の範囲でy=x²+2ax+1の最大値を求めればよい
2枚目は－√3/2≦x≦√2/2の範囲でy=－x²+ax+1の最大値を求めればよい

分からなければ質問してください