167
基本
例題107 アポロニウスの円
0OOOO0
2点A(-4, 0), B(2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。
p.166 基本事項 1, 2
指針>定点 は A(-4, 0), B(2, 0)
条件を満たす任意の点をP(x, y)とする と,条件 は
点歯 <詳
を
AP:BP=2:1
このままでは扱いにくいから, a>0, b>0のとき,a=b→a=6°の関係を用いて
である
とB 点はP
AP:BP=2 :1→ AP=2BP→ AP=4BP?
として扱う。これを x, yの式で表す と,軌跡が得られる。
軌跡である図形Fが求められたら,図形F上の任意の点Pは,条件を満たすことを確認
する。
あた祖題の
OE. JR
T1次式
用ケ
である。
CHART 軌跡 軌跡上の動点(x, y) の関係式を導く
を消
THAH
THAH
解答
条件を満たす点をP(x, y)とすると
AP:BP=2:1
七 P(x, y) に
2
0. Be
B =49再
AAP>0, BP>0であるから
平方しても同値。土 点
ゆえに
AP=2BP
A
-4 0
24
18 x
すなわち
AP=4BP?
したがって
(x+4)+y°=4(x-2)+y?} 0
x+y°-8x=0
(x-4)°+y?=4° ①
よって,条件を満たす点は, 円①上にある。
逆に,円の上の任意の点は, 条件を満たす。
したがって,求める軌跡は
|(x, yの式で表す。
整理して
9上条件へ
すなわち
Ax-8x+4°+y=4°
4Oの式を導くまでの式変)
「={1-)+(E 形は, 同値変形。彼式
うの O円生点 1
中心が点(4, 0), 半径が4の円
注意「軌跡の方程式を求めよ」なら,答えは①のままでよいが, <円 (x-4)+y=4° を答え
「軌跡を求めよ」なので, ④のように, 答えに図形の形を
としてもよい。
Po
H田5 0-0-ナェ!日A 誤路の
ち こ 常 08
示す。
