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はじめに、0≤ｘ≤kにおけるy=(x−2)^2の最大値と最小値を求めますが、kの値によって最大値、最小値は変わるので、場合分けをしないといけません。
y=(x−2)^2のグラフを書いてみるとわかりやすいと思います。
0からkの値を大きくしていくと、k=2を境目にして最小値が(k-2)^2（x=k）から0(x=2)に変わります。
なので、はじめの場合分けは
0<k<2において最大値は4(x=0)
最小値は(k-2)^2(x=k)となります
次に、kの値をさらに大きくすると、最大値の値が4(x=0)から(x-2)^2(x=k)に変わります。
この変わり目のkの値は、y=4をy=(x−2)^2に代入したときのxの値でかつxが0でないものです。
よって境目はk=4となります。
このことから、
2≤k<4において、最大値4(x=0)
最小値0(x=2)
k≥4において最大値(k-2)^2(x=k)
最大値0(x=2) となります。
ここからは最大値と最小値の和が5になるときについて考えます。
0<k<2のとき4+(k-2)^2=5
このとき、k=1,3ですが、0<k<2の範囲で考えないといけないのでk=3は不適切です
よってk=1
2≤k<4のとき4+0=4なので和が5になることはありません。よってこれを満たすkは存在しません。
k≥4では(k-2)^2+0=5
このときk=2±√5ですが、k≥4の範囲を満たすのはk=2+√5だけなのでk=2+√5
よって、これらをまとめると、答えは
k=1,2+√5となります
長文失礼しました🙇
