Question

38

293(1)でなぜ0<x<1なのかが分かりません。
あと294のx<0のとき平均値の定理ならe^0-e^x/0-xになりませんか？

*293 平均値の定理を用いて, 次の極限を求めよ。
sinx-sinx?
lim
(2) limx{log(3x+1)-log3x}
x→+0
x-x?
x→0
e*-1
を求めよ。
294 平均値の定理を用いて, 極限 lim
x→0
x
ヒント■■E
294> x→ +0, x→-0のときの極限を, それぞれ調べる。

sin β - sina <β-a 0ん
293 (1) xー→ +0であるから、0<xく1としてよ
い。このとき
関数 S(t) = sint はすべての実数tで微分可能で,
f'(t)=cost であるから, 区間[x?, x] において,
平均値の定理を用いると
xくx
0 mid
sin x-sin x?
= Cosc, x?<c<x
オーx?
を満たす実数 cが存在する。
lim x?=0, lim x=0 であるから
lim c=0
ゴ→+0
x→+0
メ→+0
よって
sin x - sin x2
lim
ポ→+0
lim cosc
Xーx?
エ→+0
=cos0=1
(2) f(t) = log tはt>0 で微分可能で、
f'(t
)== であるから, 区間 (3x, 3x+1]におい
て平均値の定理を用いると
log(3x+1)- 1og 3x
(3x+1)-3x
を満たす実数cが存在する。
エ=ニ, 3x<c<3x+1
c
等式から log(3x+1)-1og3x)%=ー
また, 0<3x<c<3x+1 から
1
x
く
3x+1
3x。
1
であるから
X
lim
3x+1
1
-=lim
1
3+
x
ニ3
1
x
lim
『→ C
よって
lim x log (3x+1)-log3x}= lim =。
オ→ C
294 関数 f(t) =e'は, すべての実数はで微分可能
f(t)=e
で

76
-4プロセス数学II
[1] x<0のとき
区間[x, 0] において, 平均値の定理を用いる
と
e-e
=e", x<C」<0
オー0
を満たす実数 c」が存在する。
lim x=0 であるから
lim c,=0
X→-0
オー-0
e"-1
= lim e''=e°=1
よって
lim
オ→-0
X
X→ー0
[2] x>0のとき
区間 [0, x] において, 平均値の定理を用いる
と
0+ 80
e*-e
=e", 0<cっくx
x-0
を満たす実数 c2が存在する。
1e0g
lim x=0 であるから
x→+0
lim c2=0
e
ズ→+0
た
よって
e*-1
lim
= lim e°?= e°=1°
x→+0
X
X→+0
e*-1
[1], [2] から 1lim
-=1
mil
エ→0
X

Answer 1

ゆあ

293(1)
x→+0 (xをプラスから0に近づける)ってことは
xは例えば、0.001とか0.00…1とかである
要は、「0より大きいけど、限りなく0に近いってことは1よりは絶対小さい」を不等式で表すと0<x<1になる
ということです。
この問題の解答で必要なのは x^2<x を述べることなので、
まず0<x<1であることを述べる必要があります。
1≦xだと、x<x^2になってしまいます。

294
これはたぶん単純なことだと思います…！
A-B/a-b と B-A/b-a が等しいのはわかりますよね
-(A-B)/-(a-b)=B-A/b-a
質問者さんが言うように
e^0−e^x/0-x
と書いても解答として間違ってないので、全然大丈夫だと思います。
今回はこの問題集が、解答での[1]と[2]の式を、文字の並びを揃えたかったからこう書いてるだけ(?)なのだと思われます…！お好きな方で書いてください。
(もちろん、自分の解答と問題集の解答が分母だけ入れ替わってる、分子だけ入れ替わってる場合は、ミスがないかよくお確かめください)

説明分かりづらかったり、求めてた回答とズレていたらすみません💦