Question

大学1年生

解き方の筋道が立たないままとりあえず解こうとはしてみたのですが、全然分かりません泣
教えてください🙇🏼‍♀️🙇🏼‍♀️

3 2直線4:(x, y, z) = (-1, -2, 1) ++(1, 2, -1), 1,:(x, y, z) = (4, -1, -2)+s(2, -3, -2) 上を
それぞれ動点P, Qが動いている。
(1) PQ間の距離の最小値を求めよ。
(2) PQ間の距離が最小のとき、直線PQは,,1, と直交していることを示せ。

(11 Pa: oa-0P
4
2
ts
+t
ニ
-2
-(5+28tt,l-35+2t,-3-2s-t)
IPal =(25+4s4ゼ+ 205+45t+10t)+(1+954チゼー6s-125t+9t)
t(9+4s++125+4st+6t
17s*+6t+265-チst+20ttる5
ニ
4=175+6t+265-45t+20tt35 とおくのSいついて整理すると、
= 175-2(2tーう)5+(6t420tさ55)
17
5%
102
340
85
726
=17(5-2-132- そでーち2ナ169
17
595
そ (6t+20t+35)
17
565
よっときの意小値は(5.4)=
(当
2t-13
98t+392t-チ26
17

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

緑茶

その方針で解けると思います。
ただし、PQベクトルの成分は計算ミスしていますね。tにもマイナスがかかるので。

写真の後半ではsについて平方完成していますが、さらにtについても平方完成します。すると、
y=(sとtの式)^2+(tの式)^2+(定数)という形になるので,答えが求まります。
直交するのを示すにはまあ、内積=0を示すのが定石ですね！

もっと簡単に解ける方法もあるのかもしれませんが、自分には思いつきませんでした。
何か分からないことがあれば教えてください！

大学1年生

なるほど！tについても平方完成すれば、最小値もそのときのtの値も求められるんですね！ありがとうございます！

⑴が解けたので⑵も解いたのですが、内積が0にならず…
どこかでミスしてますかね？

緑茶

そうですね、(1)はtの値は合っていますが、sは間違っていると思います。s=-1になるはずです。
写真の真ん中らへんで計算ミスしてますね。

(2)では、PQベクトルと、「l1(l2)に平行なベクトル」の内積を考えます。
ただし3次元の場合はねじれの位置になる可能性もあるので、実際にPQとl1(l2)が交わることを明記して証明終了です。
PQベクトルと「l1(l2)上の点の位置ベクトル」は直交するとは限らないので注意してください！

大学1年生

本当ですね、ミスしてました💦
空間ベクトル難しいです😅ありがとうございました！！