Question

なたろー

等式を証明する問題で別の文字で置き換える問題や、式の形を変えて、解くのですが、文字が定数であること、ゼロではないことのように条件を書かないといけないときはどのようなときですか？(237では、kがゼロであることや、定数であること、b、dがゼロではないことが書かれていないが、239のような問題では
書かれていない理由が分かりません)

*243 x+y+z=a, a(xy+yz +zx)=xyz が成り立つとき, x, y,
2のうち少なくとも1つはaであることを証明せよ。
a+b
ab+cd α+c
a
c+d
*237
b
のとき
d
ニ
b
d' ab-cd a-c
三
238 次の式の値を求めよ。ただし, xyzキ0 とする。
yのとき
x+y
x
3
5
x-y
x+y°+z?
2
ーュー番のとき
2
-3
4
xy+ yz+ zx
*239 a:b:c=4:5:6, a-26+3c=36のとき,a, b, cの値を
求めよ。
B
240 a+b+c=0 のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
a?
6°
c?
=3
x
241 =ソ=zのとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
a
b
C
x°_Dx°+qy°+rz
a° pa°+qb°+rc?
x
x+y+z
三
ニ
a
a+b+c
x-y?
x°+xz+ yz-y
*242 x+y_y+z z+x
の値を求
-キ0 のとき。
8
三
ニ
6
7
めよ。
4

ab+cd
4 1-2(a+b-ab)
%3(α+2+)-2(a+b)+1
=(a+b)?-2(a+b)+1
={(a+b)-1}?=(1-1)?=0
よって α+b+1=2(a+b-ab)
2) a+b+c=0から
よって
(a+b(b+c)(c+a)+abc
=(a+b){b-(a+b)}{-(a+b)+a}
A=1
a?+c?
よって
ab-cd
a?-c2
238
xyzキ0 から
xキ0, yキ0, zキ0
(1)==& とおくと, kキ0で
c=-(a+b)
x=3k, y=5k
よって
x+y
3k+5k
8k
=-4
x-y 3k-5k
-2k
(2)を==ーとおくと, k年0で
b-54
+abl-(a+b)}
-3
x=2k, y=-3k, z=4k
=(a+b)(-a)(ー6)- ab(a+b)
= ab(a+b)-ab(a+b)=0
よって
x2+y°+z?
a+b+c=0 から
a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b
4k?+9k?+16k?
-6k?-12k?+8k?
別解
Xy+ yz + zx
よって
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
296?
29
=(-c)(-a)(-6)+abc
-10k2
10
=-abc+ abc
ab:c=4:5:6であるか kを定殺と
とおける。
239
合
=0
a=4k, b=5k, c=6k
3) 3x+y=3z
x+z=3y
a-26+3c=36 から
すなわち
4k-10k+18k=36
2の開
12k=36
よって
k=3
2から
のx×3+3 から
かの
x-3y=-2
したがって
a=12, b=15, c=18
10x=8z
240 4b+c=0から
(互辺)
4
c=-(a+b)
よって
x=5
よって
y=
3
2
a?
62
{-(a+b)2
これと0から
ニ-+(a+°
abla+b)
3ab(a+ b)
ab(a+b)
別解 a+4+c=0から
3a6+3ab?
デ+ザー()+(
ゆえに
ab(a+b)
16
9
-=3=(右辺)
25
2+
25
a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b
C
237
=k とおくと
a=bk, c=dk
よって
(左辺)
V。
ロ+b
b
bk+b
a?
62
=k+1
b
b
C+d
dk+d
、3
=k+1
d
d
d
c
(a+b+c)(a?+6°+c?-ab-bcIca)+3abc
0
C+d
d
a+b
よって
b
abc
ab+cd
6°k+d°k
(6?+d°)k
6°k-d'k
(62-d°)k
3abc
=3=(右辺)
ab-cd
abc
P+9
62-d?
注意 別解では, 次の等式を利用している。
a°+6+c°-3abc
a°+c?
a?-c?
6°R?+d°k?_(b?+d)k?
6°k?-d°k?(62-d)だ
=(a+b+c(a°+6°+c?-ab-bc-ca)
この等式については, 問題 208 を参照。
6°+d?
62-d?
数学川

数学ii 等式の証明