数学
高校生
解決済み

解答では先にP(x)を(x-1)^2で割ったときを考えて、それから(x-3)で割ることを考えているのですが、
(x-3)で割ったことから考えると上手く行きません…
どうすればいいのでしょうか?

No. Date (138/式P(2)をし8-1で割ると 28+3余り、ーラで富はと1余る。 2 cの Pex)を(8-1)C2ー3)で割ったときの余りを求めよ。 Pra)= 12ーけ@r(x)け 28+3. Pe1)= 5 Pex)= (a-3) Aa(%)オ1 PC3)= 1. P(2)= (x-1)78-3) Qs(x)+ a24 ae C Pe1)= at htc=5 PC2)= 9a+3h+C =1 Pex)- co-リしゃー)Q+apet bル+レ P(x)を(Xーリで案ほと余りが2火+3になるという条件があるか (2-1) Cx-リー3Q(x)は(2ーりを案川切れるので a2えhge+しそしー暮いた保りが Px)を(2ー1)でったともの余り2タイうとなる。 a2テkget Cをアーけでると、細はのとなるのぞ、 a リa he c a -2a a 1-2 1ag'thytc = a(aー1)223 But 2a C-a よて Pea)= (x-)とxーク) Q(g) + aL2-1)キ22+うの PCx)を アー3でけら余りが1になきラとから、 ①になニタを代入して、 とおける。 PC3)= 4at 6t32 4at9= 1 a ニー2 よって保中は、 -2C-28+1)+20+3 Pcz)= (ベ-1リて2ーラ) Q(x)+ axt &etC Pez)を 20-3で割いた余り = axt&et+Cをータで案った余り a&+C= (-3)(agt.&t3a)+ 1 a ht3a 1 -3 )a a (2ー3) c -3a a よって、 ht3a C (ターリ Pca) = (x-1)(8-)Q(x)+ (2-3)(axtht 3a)+1 とかけ1る。 んt3a -3h-9a Pex)を(どーりでると余りが2xt3になることから、や二1を代ンして、 C+3ム+ 9a P(1) = -2· (athtうa]+1 --2(4ath)+ 1 = 2%+3 8a-2&+1

回答

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P(x)を(x-1)²で割ると余りが2x+3になる、というとき、単にx=1を代入しただけでは、余りも2∙1+3=5となり、せっかく2x+3と2つの係数で表されている情報が5という1つの定数になってしまい、情報不足、条件不足に陥ってしまいます。
なので、AをBで割った余りが2x+3になるというときは必ず、
A=BQ+2x+3
という形式で表さなければいけません。
よって、
P(x)=(x-1)²(x-3)Q(x)+(x-3)(ax+b+3a)+1
の後は、
P(x)を(x-1)²で割った余りが2x+3になるとき、
(x-3)(ax+b+3a)+1を(x-1)²で割った余りも2x+3になる。ここで、(x-3)(ax+b+3a)+1を(x-1)²で割ったときの商はaだから、
(x-3)(ax+b+3a)+1=a(x-1)²+2x+3
という式が得られる。
両辺をそれぞれ整理すると、
ax²+bx-9a-3b+1=ax²+(-2a+2)x+a+3
係数を比較すると、
{a=a
{b=-2a+2⋯①
{-9a-3b+1=a+3⋯②
①を②に代入し、
-9a-3(-2a+2)+1=a+3
-4a=8
a=-2
b=-2(-2)+2=6
よって、余りは、
(x-3){-2x+6+3(-2)}+1
=-2x²+6x+1

最後に改めて強調しておきますが、(x-c)²などのような場合、余りの係数はax+bなど複数の情報が得られるのに対し、代入で得られる式は1本しかないため、情報が欠落することになってしまいます。このときの解決策は、代入ではなくA=BQ+ax+bと表し、係数の情報が保存されるように書くことです。

補足しておくと、(x-3)(x-5)で割ったときの余りが5x+2などの場合、2つの値を代入してそれぞれ式が得られるので、余りの係数、代入して得られる式、どちらも2つであり、代入でも十分に情報が得られます。
ところが、(x-1)²のような重解のときは代入で得られる式が1本になってしまうので、代入でやると情報不足に陥ります。

Crystal Clear

補足
重解をもつときの因数定理(微分が必要)
https://manabitimes.jp/math/1050

重解のときは特殊なんですね。
回答ありがとうございます!助かりました🙇‍♀️

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回答

うーん…いろいろ考えてみましたが難しい質問ですね。
一つだけ気になった点があり、
(文字を含む)整式の割り算が少しだけ違うような気もします。そこを見直すといいかもしれないかな🤔

Ashes to Ash

これは係数のみで行っているものですね。
xも含めてやってみるといいかも。僕は慣れてないのでそっちをいまだに使ってますな🤒

回答ありがとうございます!URLも添付して頂き、ありがとうございました🙇‍♀️

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