Question

Black

統計学の質問です。
画像のDn1は証明できるものなのでしょうか。
教科書には「このとき1次元の確率変数の密度関数と同じように次の性質が成り立つ」とかいてあるので証明できるものなのではないのでしょうか。
また証明できるのであれば証明を教えていただけないでしょうか。
ちなみにF(x,y)=P(X≦x,Y≦y)です。

1次元のときはf(x)はf(x)=F’(x)と定義されてF(x)は広義単調増加関数でしたからf(x)≧0となり証明できました。

で表し,Y= ys を与えたときのXの条件付き
を
VIXla] = VIX|Y =ム]=D(x)- E[Xlva])°{(z;)lux)
で表し,Y= ye を与えたときのXの条件付き分散 (conditional vari.
ance)という、Xを与えたときの Yに関する条件付き分布や条件付き平均
分散についても同様に定義される。
[C] 同時分布が密度型の場合
同時分布関数 F(z, y) が微分可能であるとき,
f(x,9)
F(x,y)
Oc0y
三
を(X, Y) の同時密度関数(joint density function)という. このとき1次元
の確率変数の密度関数と同じように次の性質が成り立つ:
(Dnl) f(x, y) > 0.
(Dn2) (x,y) dedy =1.
(Dn3)分布関数は F(z,y) = | f(u, 0) dudv.
X, Y の周辺密度関数は,それぞれ
A(z) = (z,2) dy.
Aw)=Dfa,w) de
(x,
こなる。

数学 統計学 大学数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

もっといい証明がありそうですが、

FがC^2級であることを仮定する。

h≧0, k≧0 のとき
P(x≦X≦x+h,y≦Y≦y+k)≧0

また、
P(x≦X≦x+h,y≦Y≦y+k)
=F(x+h,y+k)-F(x+h,y)-F(x,y+k)+F(x,y)
=φ(x+h)-φ(x) [φ(x)=F(x,y+k)-F(x,y) と置いた]
=φ'(c1)h [x≦c1≦x+h]
={Fx(c1,y+k)-Fx(c1,y)}h
=Fxy(c1,c2)hk [y≦c2≦y+k]

0≦P(x≦X≦x+h,y≦Y≦y+k)/(hk)=Fxy(c1,c2)
h→+0, k→+0とすると c1→x, c2→y
0≦Fxy(x,y)=f(x,y)

Black

回答ありがとうございます。

数学が得意でなく理解できない箇所がいくつかあります。

① φ(x+h)-φ(x) [φ(x)=F(x,y+k)-F(x,y) と置いた]
=φ'(c1)h [x≦c1≦x+h]
この等号が成り立つ理由がわかりません。
φ’(x)=lim[h→0](φ(x+h)-φ(x))/hならわかるのですが多分違いますよね….

② φ'(c1)h [x≦c1≦x+h]
={Fx(c1,y+k)-Fx(c1,y)}hの等号が成り立つ理由は
φ(x)をxで偏微分してc1を代入したと考えれば良いのでしょうか。

③ {Fx(c1,y+k)-Fx(c1,y)}h
=Fxy(c1,c2)hk [y≦c2≦y+k]

これに関しては等号がなぜ成り立つのか全くわかりません。
そもそも計算がよく理解できていません。

理解力がないので何回か聞くかもしれません。教えていただけないでしょうか。

Crystal Clear

①③は平均値の定理です
②はそのとおりです