Question

に

(3)がなぜk²を8で割った余りについて調べるのか と、なぜk²を8で割った余りがkを4で割った余りで求められるのか どうしても分かりません😭

2.次のように1, 3, 4を繰り返し並べて得られる数列を {an}とする。
14 2019年度数学
. 次のように1,3,4を繰り返し並べて得られる数列を{an}とする。
9なわち, aj = 1, a2 = 3, ag = 4で,4以上の自然数nに対し、
an = an-3 とする。.この数列の初項から第n項までの和を Sn とす
る。以下の間に答えよ、(配点25点) 30年0 実
JS突さ
(1) S, を求めよ。
od
(2) S, = 2019 となる自然数nは存在しないことを示せ.
(3) どのような自然数kに対しても, S, =パとなる自然数nが存
在することを示せ。
Too
TOgm

TD八文糸前期
神戸人
以手呼告)
)k=4/ (1= 1, 2, 3, …)のとき
*=(4)=8(2/)
22
20 2019年度 数学(解答)
から三角形の面積を引引くとよい。
2
た余りで分類し、S,を求める。
S.=Sa(2)=8(2/2) = k°
k=4/+1(1=0, 1, 2, …) のとき
ド= (41+1)*=16/" + 81+1=D8(22+1)+1
2) (1の結果から, S, を8で割った余りに着目する。
りで分類する。
S,= Sa(eP*+D +1=8(2/°+1) +1=Dk°
k=4!+2(1=0, 1, 2, …) のとき
=(4/+ 2)?= 16/° + 16/+4=8(21°+21) +4
であるので、n=3 (2/"+ 21) +2 とすれば, nは自然数で, (1)より
S,= Ss(2F+ 20 +2=8(21°+21) +4=D?
解答 (1) m=3m (m=1, 2, 3, …) のとき。。
4との
S.=S=(1+3+) +(1 +3+4) +…+ (1+3+4)
m個
ちょうよ
8m
3
k=4/+3(1=0, 1, 2, …)のとき
= (41+3)?=16/°+241+9=8(2/°+31+1) +1
3m+1 [m%=DQ、 1, 2, …) のとき
であるので,n=3(2/° + 3/+1) +1とすれば,nは自然数で,(1)より
m個
S= Ss(2F+ 3/+1) +1=8(2/°+3/+1) +1=°
以上より,どのような自然数kに対しても, S.=k° となる自然数nが存
8n-5
n-1
=8m+1=8
3
3
=3mf2(m=0, 1, 2, …) のとき
在する。
ぶ
4解 説>
(証明終)
S.=Sm-2= (1+3+4) + (1+3+4) +……+ (1+3+4) 41+3
く3個の自然数が繰り返される数列の和》
>(1) nを3で割った余りで分類する際, mを自然数として, n=3m.
n=3m-1, n=3m-2 としてもよいが, [解答]のようにした方がわかり
やすいだろう。n=3m+1, n=3m+2のとき, m=0, 1. 2, …となるこ
とに注意。
m個
=8m+4=8-
n-2
8n-4
3
3
以上より
8.
(nが3で割り切れるとき)の全間
3
8n-5
S,=
(2)(1)より,S,を8で割ったときの余りは0または1または4に限ら
れるので,2019 を8で割った余りが3であることから示せばよい。
P3)(4/+r)?=D16/°+8lr+r=8(2/°+1r) +rパであるので, kを4で割っ
た余りで分類すれば、(1)の結果から, S,=k° となる nを具体的に表すこ
とができる。
特
(nを3で割った余りが1のとき)
ヘへ
3
…(谷)
8n-4
(nを3で割った余りが2のとき)
3
(2) (1)より, S.を8で割った余りは0または1または4であるか.
2019=8×252+3より2019を8で割った余りは3であるので、
S.=2019 となる自然数nは存在しない。
の発想 (1) 1. 3, 4のであるので, nを3で割っ
(証明終)
中