Question

kept

指数法則が成り立つのは実数の場合のみですか？

2
-π十isin
5
2
11
のn乗根
Q=COS
5Tのとき, 次の式の値を求めよ。
1+α+α°+α°3+α*
ポイント eは1の5乗根の1つであるから α'=1
これを利用する。

aラz
cos2ルナひsinれ
Z
2
4
5
(a+(x)5+ (以)
5
2
ス
3
→1け1+ 1
+ 1
て
t l

(1) α=cos2x +isin2x=1
よって
α-1=0
左辺を因数分解すると (α-1)(α*+α°+α*+a+1)=0
2
+isin元キ1から(与式)%3D0
2
α=COS
5

複素数平面

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Seifert-van Kampen

複素数の範囲ではそのような指数の扱い方はできません。これは虚数の分数乗が多価（誤解を恐れずに言えば，複数の値をとる）だからです。

例えば， i^(1/2) というものを考えましょう。
これは当然「 2 乗して i になる数」を探せばいいわけですが，±√3(1+i)/2 はどちらも 2 乗して i になります。こういうのを多価って言うわけです。
だから (α^5)^(1/5) が必ず α になるわけではありません。

分数乗が絡まなければ通常通り指数法則を適用して問題ないと思います（ド・モアブルの定理から容易に確かめられる）。

Seifert-van Kampen

そもそも，高校数学の範囲では虚数の分数乗は定義されていなかったと思います

kept

丁寧に回答していただいてありがとうございます！
よくりかあて

kept

よく理解できました！