Question

Chihi

数Ⅱ点と直線の距離について
解答の矢印のところでマイナスがなくなっているのがよくわかりません。
また、そこでt=-1 のとき最小値をとるのは、横軸がt、縦軸がdとしたとき、下に凸の二次関数になるからですか？
だとしたら、√5 や絶対値は考えなくていいのですか？

よろしくお願いします。

例題17 3点 A(3, 5), B(1, 1), C(4, 3) を頂点とする△ABCの面積Sを求
めよ。
指針
辺 ABを底辺としたときの△ABC の高さは,点Cと直線 AB との距離に等しい。
y-5=(x-3)
1-5
1-3
解答
直線 AB の方程式は
すなわち
2x-y-1=0
点Cと直線 AB の距離をdとすると
4
d=
22+(-1)
AB=(1-3)+(1-5)=20 =2,5
V5
また
B
x
よって S=AB-d=x2/5×-4 茶
-AB·
×2V5×
185 次のような三角形の面積を求めよ。
(1) 3点(-1, 1), (3, -2), (1, 4) を頂点とする三角形
*(2) 3直線 x-3y=-5, 4x+3y=-5, 2x-y=5 で作られる三角形
*186 平面上の2点を A(1, 1), B(2, 3) とする。 点Pが放物線 y=x°+4x+11 上
を動くとき, APAB の面積の最小値を求めよ。
(2) 求める直線は, 2直線4, 3x+y=15 の交点と点Bを通る。
直線の方程式をkについて整理。kについての恒等式と考える。(問題39参照)
186 > 点Pと直線 AB の距離dが最小となるとき, 面積は最小となる。
182
183
方程式

186 P(t, ?+4t+11)
とおく。
直線 ABの方程式は
11
P4-d
3-1
ター1-ー1)
1=
(x-1)
2-1
B
すなわち
2xーy-1=0
X
また
AB=V(2-1°+(3-1)*=\5
点Pと直線 ABの距離dは
d=-
V2°+(-1
|-(?+2t+12)|
V5
?+2t+12|
V5
ミ
三
V5
よって,dは
11
t=-1のとき最小値
V5
をとる。このとき, APABの面積Sは最小で
S=AB-d=5。
1
11
11
ニ
2
2
参考 面積が最小になるときの Pの座標は(-1, 8)
187 (1) x?+y?=25
(2)(x-3)+(y+2)°=16

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

pana

絶対値だからです。必ず0か正になるように返してくれるので絶対値記号の中では好きにマイナスを外せます。
|-2|=|2|=2
|-x|=|x|

最後はご指摘の通りで、少し解説にしては一言飛んでます。
分子の|(t+1)^2+11|の最小値を探すわけですが
(t+1)^2+11は任意のtに対して正なので
|(t+1)^2+11|=(t+1)^2+11
と絶対値記号を外してt=-1の時に最小と分かります。

(下に凸であることは正になるところの必要条件として使ってます。上に凸なら0になるところが最小値ですね)

Chihi

ありがとうございます。マイナスを外せるのは、わかりました。
「(t+1)^2+11は任意のtに対して正」になるのはなぜですか？

Chihi

すみません、やっぱりわかりました。ありがとうございます。

Answer 2

のりねこ

私のノート「絶対値記号」の(8)を見てください

Chihi

ありがとうございます。
間違えて解決する前に、前の方にベストアンサー押してしまいました。すみません。