Question

おでん

線形代数の問題です。
解答の赤マーカーの部分がわかりません。教えてください

t
が表す平面上の1次変換をfとする。点P, Q. R,
1-t
[5C-13] 行列
なら
ーt 1+t/
1
と
2
Sをそれぞれ(1,0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), さらに円 C:x'+y?=
大学
L.円Cが子によって移される図形をC'とおく。次の問いに答えよ。
(1) (=- のときfによって四角形 PQRS はどのような図形に移されるか。
2
1
のときの図形C' の概形を描
(2) (1)で求めた図形との位置関係に注意して, t=-
け。
13) えがすべての実数を動くときC'が通過し得る点 (x, y) の集合を求めよ。

[5C-13](1次変換と図形)
1
(1) t=
のときfを表す行列は
2
1
1
2 2
1
11
1
3
2(-1 3
2 2
であり
1
2(-1 3/
1
2
2
1.
|2

24 Q
f) =|+
-8と
2-4
1
ソ=x
|2
RY
4x
1-
-4
2
1
0
f6)-0とすると
X=±,-
1
2
1
p
2
4
2
V2
-cos e
3
1+t
2
V2
-sin0
より,点P, Q', R', S'をそれぞれ
3
1-t
V2
1
t
sng)
1+t)
Cose
1
ーt
2' 2
tsin0+(1-t)cos 6\
2
1
三
2((1+t)sin0-tcose)
2
より
とするとき,四角形 PQRS は四角形
tx+(1-t)y=
-sin é
V2
P'QR'S' に移される。… [答)
(2) 円 C:x'+y*=上の点を
1
-sin 0
V2
(1-t)+?
V2
-cosé,
-sin@
(1+t)x-ty=-
cos 0
とおく。
1
-cos 0
V2
-cos 0
V2
11
よって
-1 3
-sin@
V2
{tx+(1-)y}?+{(1+)x-ty}}=-
-1 3ano
)(Gnd)
これを整理すると
(4t°+4t+2)x?-8t°xy+(4t°-4t+2),
さらにtについて整理すると
4(x-y)??+4(x°-y")t+2x"+2y°-1=
次に,これを満たす実数tが存在する
条件を求める。
(i)x=y のとき;
Cos 0
22
sin 0+cos0
2/2 (3sin0-cosé,
1
より
「x+y=\2 sin
13x-y=V2 cos@
よって
4x-1=0 となるから, x=y=士-
(x+y)*+(3x-y)*=2
: 10x-4xy+2y=2
5x-2xy+y=1
これは2次曲線であり
アー2xy+ 5x*-1=0
実数!が存在する。
(注) C' はtの値によらず2つの定点
11
を通過す
2
2'
12
ーS
のN
II

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

単なる媒介変数θと三角関数による媒介変数表示。

おでん

媒介変数表示なのですが、なぜ、赤マーカーx+y＝√2sinθ、√2cosになるのですか？

哲治

明日に説明します。

哲治

返信遅くなりました。
たぶん図形の行列による変換のイメージができてないと思うので、僕の回答はあえて高校数学の「軌跡」の考え方で解きました。
テキストではパラメータθについて方程式を解いています。

哲治

つまりテキストではパラメータθについて方程式を解いて、sinθ=(x,yの式),cosθ=(x,yの式)
という形にして、元の円の方程式に代入してるわけです。

おでん

お返事ありがとうございます。とても分かりやすいです。感謝します！