Question

BAED

この問題の簡単な解法があれば教えて下さい！

256 第10章 総合問題
第10 総合問題
であり,(a
acミ
これを用
標断 110 合同式
a=b
a=E
a=6
nを自然数とする.次の問いに答えよ。
(1) 8" を11で割った余りが3となるnをすべて求めよ.
(2) 11"を17で割った余りが4となるnをすべて求めよ、
(3)(1)の条件と(2)の条件を同時に満たすnをすべて求めよ、
=b
くり返して
a"=b
(秋田大)
本間1)で用
8=8
8°=64 より
0,2より
8-8°=E
8-9=72 よ
の, ③より
8-8°=8
や精講
合同式
mを正の整数とします, 2つの整数a, bについて、 α-bがmの
倍数のとき,aとbはmを法として合同であるといい、
a=b(mod m)
と表します。
これは, a, bをmで割ったときの余りが等しいことと同じです。
整数a, b, cについて,
8-6=48 より
a=a(modm)
a=b (modm) ならば b=a (modm)
0, ④より
8.84=8-
8.4=32 より

=8:6 (mod11)
8-6=48 より、8'=4 (mod11)
0, のより
8.8=8·4(mod11)
8.4=32 より、8=10 (mod11)
このようにして、8, 8°, 8', 8', 8",
きます、
整数を11 で割った余りは, 0, 1, 2,
くり返しとなります。
n)
を11で割ったときの余りを求めてい
10の11通りしかないので, いずれ
*…ャ*
解答)
(1) 11を法として,
8'=8, 8°=9, 8°=6, 8*=4, 8"=10, 8°=3,
87=2, 8°=5, 8°=7, 8'0=1, 8'"=8
81=8' であるから, 8" を 11で割った余りは, 周期 10でくり返される.
以上より,8" を11 で割った余りが3となるnは,
n=101+6(l=0, 1, 2, ……)
(2). 17 を法として,
11'=11, 11°=2, 11°=5, 11*=4, 11°=10,
11°=8, 11'=3, 11°=16, 11°=6, 11'"=15,
11"=12, 112=13, 11°=7, 114=9,
115=14, 11'=1, 117=11
- =64=9
8°=8-8=8-9=72=6
もに m の倍数で
炎 (S)
* 11-121=2
11°=11*-11=11-2=22=5
Ss

258 第10章 総合問題
11"=11' であるから, 11" を17で割った余りは,周期 16 でくり返される。
以上より,11"を17 で割った余りが4となるnは,
n=16m+4 (m=0, 1, 2, …)
(3)(1),(2)より
(n=)10/+6=16m+4 (1, m は0以上の整数)
よって,
bom)
………の
8m-51=1
8-2-5-3=1
であるから, -2より
8(m-2)=5(I-ー3)
右辺は5の倍数なので, 左辺の8(m-2) も5の倍数であり、5と8は互い
素であるから, m-2は5の倍数である。
よって,
のをみたす。mを1組みう
ける
3