Question

アカリ

数学IAのマーク模試の過去問です。
赤線の部分は1つ1つ確かめて求めていくのが1番効率のいいやり方ですか？解説お願いします🙇‍♀️

2
第1問
(必答問題)
(配点 30)
[1) 20以下の自然数 n に関する条件p. 9. r,sを次のように定める。
p:nは3で割ると2余る数である。
9:nは5で割ると2余る数である。
r:nは 10で割ると7余る数である。
s:nは奇数である。
また,条件p、9.rの否定をそれぞれ, p, .. テとする。
(1) 条件pを満たすnは全部で
ア
個ある。
(2) 命題「q→r」の反例となるのは n=
イ
ウェである。
(3) 命題11を「 ー, 命題Dを[デーまたは)」 とする。
命題の対偶は
オ
である。
また,命題I1), 命題山の真偽の組み合わせとして正しいものは
カ
である。
オ
に当てはまるものを, 次の0~③のうちから一つ選べ。
0
→(pまたは
0 r→pかつg)
@ (pまたは)→r
(pかつ)→r
カ
に当てはまるものを. 次の0~③のうちから一つ選べ。
O 命題D……真, 命題-…真
0 金題I………真,命題 …
@ 命題I…,命照山……真
命題I-, 命題D--
(4) rはsであるための
キ
キ
に当てはまるものを, 次の0~③のうちから一つ選べ。
O 必要十分条件である
0 必要条件であるが、十分条件でない
② 十分条件であるが, 必要条件でない
③ 必要条件でも十分条件でもない

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

拓👓

(1)pを満たすnを書き上げると、
p: n=2,5,8,11,14,17,20
よって、pを満たすnは7個。
[別解]
kを整数とすると、
n=3k+2
と表せる。
nは20以下の自然数であるから、
1≦n≦20
1≦3k+2≦20
-1/3≦k≦6
これを満たす整数kは0~6の7個であるから、対応するnの個数も7個。すなわち、n=3k+2を満たす20以下の自然数nの個数は7個。
(2)q⇒rの反例は、qを満たすがrを満たさないもの。
q,rを満たすnを書き上げるのがおそらく一番簡単。
q: n={2,7,12,17}
r: n={7,17}
qにあって、rにないnが反例であるから、
q⇒rの反例となるのはn=2,12
(3)対偶は否定をとって左右逆にしたものである。
ドモルガンの法則より、「または」の否定は「かつ」なので、(II)の対偶は、
(pかつq)⇒r
となる。真偽の判断は考えるより、書き上げてしまった方が楽。
qの否定: nは{2,7,12,17}以外の20以下の自然数
rの否定: nは{7,17}以外の20以下の自然数
nが{2,7,12,17}以外ならば、nは{7,17}以外であるので、命題「qの否定⇒rの否定」は真。
p: n={2,5,8,11,14,17,20}
q: n={2,7,12,17}
pかつq: n={2,17}
r: n={7,17}
n=2のとき、pかつqを満たすがrを満たさないので、
命題「(pかつq)⇒r」は偽。
したがって、その対偶である命題(II)も偽。
(4)
r: n={7,17}
s: nは奇数
nが7または17ならばnは奇数であるから、「r⇒s」は真。すなわち、sであるには、rであれば十分である。
n=5のとき、nは奇数だが、n=7または17ではないから、s⇒rの反例となるため、「s⇒r」は偽。
すなわち、rでなくてもsとなることがあるため、sとなるのにrであることは必要ではない。
したがって、sとなるにはrであれば十分であるが(r⇒sが真)、sとなるのにrである必要はないから(s⇒rが偽)、rはsであるための十分条件であるが、必要条件ではない。

アカリ

丁寧な解説ありがとうございます！