指針> (1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交在で
(2)(1)の点Hに対して, 3点0, G, H は一直線上にあり GH=20G
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基本 例題30 線分の垂直に関する証明
[類山梨大)
基本23
本後
ある。
AH+6, BC+0, BH+6, CA+0のとき
AH」BC, BHLTA → AH·BC=0, BH.CA=0
A
であるから,内積を利用 して, A [(内積)=0] を計算により示す。
0は△ABCの外心であるから, lOA|=|OB|=|oC| も利用。
CHART 線分の垂直 (内積) =0 を利用
|解答
直角三角形のときは
ZC=90° とする。
このとき、外心は辺 ABE
にある(辺 ABの中点)。
A
(1) ZAキ90°, ZBキ90° としてよい。
このとき,外心0は辺BC, CA上
にはない。
OH=OA+OB+OC から
AH=OH-OA=OB+O¢
ゆえに AH·BC
=(OB+OC)· (Oで-OB)
=|oCP-IOBP=0
の
B
(BC=OC-OB (分)
これら
(AABC の外心0→
OA=0B=0C (数学A)
同様にして
して
BH-CA=(OA+oC)- (OA-OC)
=|OAF-|OCP=0
AH=OB+OCキ0, BH=OA+OC30
(検討
また,①から
よって,AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 であるから
AHIBC, BH」CA すなわち AHIBC, BHLCA
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
外心,重心,垂心を通る直線
(この例題の直線0GH)を
オイラー線 という。
ただし,正三角形は除く。
OG=
OA+OB+0C
=OH から OH=30G
(1) から
OA+OB+0C=OH
3
ゆえに GH=OH-OG=D20G
よって, 3点0, G, Hは一直線上にあり
GH=20G
|右の図の
AB
28
0から
