Question

しんころ

左のページの問題で、→を書いた後の解き方がよく分からなかったので教えていただきたいです。

20 2016年度:数学Ⅱ·B/本試験
2016年度:数学I·B/本試験 21
(2) ん
25
[2) を正の定数として
とし
くxく
(1
の範囲でのを満たすxについてんよ
= 0
cos"r- sin'x +k{
cos?x
う。
sin'x
を満たすrについて考える。
2により sin 2 x
4
ヌ
4
であるから
ネ
(1) 0<rく-の範囲で①を満たすxの個数について考えよう。
A s.27ン(6
To?24. 16
ノハ
cos 2x =
のの両辺に sin?xcos'xをかけ, 2倍角の公式を用いて変形すると
ヒ
2対
である。したがった
sin?2x
2)
ー&|cos 2x= 0
チ4
16
フ
25
COS x =
へ
cCcL
のときはつねに
ツ4
を得る。したがって, kの値に関係なく. x =
である。
o
ネー S
3
①が成り立つ。また, 0 <x< ーの範囲で0<く sin? 2x <1であるか
テ
のとき、のを満たすxは
ト
28ード- 0
3
Cs200
76-1.--
のみである。一方、
ツ4
ら、>
4
4
2
20374ンテ
テ
のとき、Dを満たすxの個数は
ト
とと
4
0くkく
ナ 個であり.
ce62.-
テ
のときは
ト
sin224-46
Sn24=エ26
k=
ニ
個である。
焼の解きあ。
0
こS切2
f
ce374 Stn?a
Aces (u5tか-57a)tk15m'a~cesla
ーK(以4-3i08)
TL
0
4574 (517c084-20
292

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

{(sin²2x)/4-k}cos2x=0より
(sin²2x)/4-k=0またはcos2x=0
(sin²2x)/4-k=0[※]について詳しく考える。
0＜sin²2x≦1であるから、0＜(sin²2x)/4≦1/4
[※]が成り立つ、すなわち(sin²2x)/4=kとなる可能性があるのは、0＜k≦1/4のときであり、k＞1/4のときは常に(sin²2x)/4-k≠0だといえる。したがってこの場合、①が成り立つのは、cos2x=0すなわちx=π/4のときのみである。
0＜k≦1/4のとき、(sin²2x)/4-k=0を満たすxが存在する。この三角関数の方程式の解の個数を考えるにあたって、もう少し式を簡単にした方がよい。
(sin²2x)/4-k=0
sin²2x=4k
k＞0より
sin2x=±2√k
このとき、0＜x＜π/2より0＜2x＜πであるから、
0＜sin2x≦1と正の値をとるため、
sin2x=2√k
このような方程式の解の個数を調べるには、y=sin2xのグラフを書いて直線y=2√kとの交点の個数を数えるのが有効である。
y=sin2x(0＜x＜π/2)とy=定数の直線との交点を調べると、
直線y=1とは1点で交わるが、直線がそれより下になれば、2点で交わることが見てとれる。
したがって、y=2√kがy=1のとき、すなわち2√k=1のとき、k=1/4であり、このときsin2x=2√kはsin2x=1で、その解はx=π/4となる。
y=2√kがy=1より下、すなわち0＜2√k＜1のとき、0＜k＜1/4であり、このときsin2x=2√kはx=π/4以外の解を2個持つ。

しんころ

いつも回答して下さり、ありがとうございます。
理解できました。これからもよろしくお願いします。

Answer 2

ブドウくん

一応解けたんですが、答えってありますか？間違えていないと思いますが、間違えて教えてしまうと嫌なので...

しんころ

ありがとうございます。
テ1 ト4 ナ3 ニ1です。

ブドウくん

あっていたので、今から清書しようと思いますが、ヌ以降は解説不要ですか？

しんころ

ヌ以降は大丈夫です。よろしくお願いします。

ブドウくん

写真の通りです。

ブドウくん

考え方の方針としては、まずはsin2xとかいう面倒なやつを文字で置いてやりましょうということからはじめてやると、きれいに定数分離できる式が出てくるので、この定数分離というアイデアが思い付くかどうかというのがあると思います。微分なんかで数2でも数3でもよく出てくることなので、ピンときてほしいです。あとは文字で置いたときにはきちんと対応関係を把握しておくことが大切かと思います。どこで躓いたのかを見直して、復習してみてくださいね。

ブドウくん

すみません、訂正があります。
0<2x<πのとき、0<sin2x<1ではなく
0<sin2x≦1です。(2x=π/2のとき1をとるため)
したがって、0＜t≦1となります。

これに伴って、イの過程が代わります。基本的な考え方はウと同じで、違うのはt=1のときにはtに対して2xがπ/2の1つしか決まらないという点ですね。このとき、xはπ/4になりますね。
だから、(＊)で1個、(☆)で1個、あわせて2個と言いたいところですが、こいつらはどちらもπ/4で重解になるので、個数としては1個が答えになりますね。

しんころ

丁寧に解説して下さり、ありがとうございます。
今までに何度もお世話になっています。文字で置く方法を思いつけるように、よく復習します。