Question

。

困っています。
教えてください。
数学2B 標準問題精講105の質問です。

1枚目の1番下の部分に
f(t)=f(t+1)となるtを求める。とありますが
これは何を求めているのでしょうか。

ご教授ください。

f(t)=2t°-9t°+12t-2 とする. 各実数zに対して, 区間 ェ<tsz+
238 第6章 微分法とその応用
標問 105 変化する定義域における関数の最大·最小
におけるf(t)の最大値を対応させる関数を g(z)で表す。
9(x)を求め,y=g(z) のグラフをかけ。
(信州大
解法のプロセス
定義域の幅が1であることに
リ=f(t) のグラフは, 微分し, 増減
を調べれば直ちに得られます. 問題
はこの関数の定義域が確定されていないというこ
とです。rを与えることにより定義域がいろいろ
に変わるのです. しかし, いずれのときも
定義域の幅が1
。 精講
着目
f(x)=f(ェ+1) となるまで
左端,右端の大小が入れかわる
ということは変わりません. このことに注意して
ェを動かしていくと, 最大値を調べるには次の4
つの場合分けが必要なことに気づきます。
最大となるのは,極大点また
は端点である
に 0
リ=f(t)|
Y4
YA
リ=f(t)/
リ=f(t)/
1Iレ|+-!!|
I
1
1
0
α 18 2
0|/ a 16 2 t 0/« 16 2
0|| a18 2
t
-2
-2
-2
-2
x+121, x<1
g(x) =f(1)
第3,第4の場合のβは f(x)=f(ェ+1) とな
x+1s1
1SxSB
BSx
g(x)=f(x+1)
g(x) =f(x)
g(x) =f(x+1)
るrの大きい方の値です。
解答)
f(t)=2t°-9t°+12t-2
f(t)=6t?-18t+12=6(t-1)(t-2)
f(t)の増減表は次のようになる。
(0 70)
9=()
YA
t
1
2
0
0
f(t)
3
2
f(t)=f(t+1) となるtを求める。
f(t+1)-f(t)=6t?-12t+5
0
a 18 2
-2
の

RGのチボ仕
239
であり,6t-12t+5=0 を解くと
6土/6
(O小 大の
t=
6
この2数を α, B(α<B) とすると y=f(t) のグラフは前図のようになる。
これより,エStSe+1 における f(t)の最大値g(z)は
f(エ+1)(z+1<1)
9(z)=
(r+121, r<1)
f(x)
(1SSB)
Is(z+1)(B<r)
2.c°-3.°+3
94
リ=g(x)}
(zS0)
(0Sz<1)
2ー9+12.ェ-2 (1Srsbt/6)
(6+ 6s2)
3
3
={ 2.c°-9.r
6
0
18 2
2.c°-3.2+3
6+ \6
6
これを図示すると右図のようになる。
。 研究
1° y=g(z)のグラフをかくとき, 例えば,
S0 のときは y=g(z)=f(r+1)
であるから,y=f(x) のグラフをェ軸正方向に-1だけ平行移動すれば
よい。
2° f(t)の最大値g(z) は, 極大値となる z=1 が定義域 zStハェ+1 に
含まれるか否かで場合分けすると +
いM
<1ハe+1 のとき,
max(f(z), f(1), f(z+1)}
e+1<1 または 1Sx のとき,
max{S(z), f(zr+1)}
4 9=f(z+1) y=f(z)
9(z)={
+|リ=f1)
3|
ここで, max{X, Y}はX, Yを比較し
て小さくない方を表すものとする.
f(z)=f(r+1) の大きい方の解をBと
すると y=g(x) のグラフは右図の青線部
分となる。
0
16 2
-2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ものぐさ

解法のプロセスの所にまとまっている内容が答えになっています。
最大値になりそうなのはf(x+1)かf(x)のどっちかだってのはわかりますか？
どっちが大きくなるかは途中でが入れ替わります。
大きい方がどこで入れ替わるか興味があるんですが、大きい方が入れ替わるタイミングでは二つが一瞬同じ大きさになるのでその二つが同じになるような点を出したくてそのような大きい方が入れ替わるxをtと置いています。

ものぐさ

二次関数は左右対称なので　区間の真ん中と極値の位置を比べれば　区間の右と左どっちが大きいかが判断出来ます。
でもこの特徴は二次関数だけです。
三次関数は左右対称じゃ無いので極値の位置に近いか遠いかと　その時にどっちが大きくなるかには全く関係がないので　範囲の真ん中との位置関係比べても何の意味もないです。

。

二次関数だけの性質なのですね！
解決しました。
ありがとうございました。