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部分分数分解でしょうか。このような場合、たとえば1/(n-a)(n-b)を分解すると1/(b-a) * {1/(n-a) - 1/(n-b)}となるということは結論として得られますから、実践上はそちらを使うのが早いでしょう。ただ、理論的理解も重要ですから、順を追って説明していきます。ひとまず、2行目に関して説明をしますから、その後に分からない場所が出てきたら随時コメントにて追記してください。
部分分数分解の根本的発想は、「分母が掛け算の形になっている分数は計算しにくいなぁ」から始まります。ところが、たとえばこのような計算はどうでしょう？
1-2+2-3+...+100-101
この場合、1-2=-1、2-3=-1、というようにやっていって、これが100個あるので-1*100=-100となるということは誰でも分かります。しかし、別の見方をしてみれば、違う話が出てきます。つまり、最初の1をすっ飛ばして、-2+2=0、-3+3=0、というようにしていけば、100までは綺麗に消えて、最後の-101が残りますから、全体で1-101=-100というように出てくるわけです。
つまり、「足し算をする時に、うまく引き算を使ってあげると、計算が楽になることがある」ということです。
さて、部分分数分解では、このようにして、「分数の分母が掛け算になっているものの足し算を、うまく引き算の形に出来たら楽なのになぁ」と考えるところから始まります。ですから、2行目の冒頭は1/k(k+1)が、元の分数の形で、これを「a/k + b/(k+1)」の形に表せたらいいなぁ、という主張です。そして、「表したいのなら、そう表せると仮定して、そのような表現が見つかったらOK、見つからないことがわかったら表せない」と考えれば良いので、「兎にも角にも表せたとするならこういう形になるよ！」というのが2行目最初の右辺の式です。そしてこれは、また読み替えれば「こうなるようなa,bが存在すれば表せるよ」になるので、a,bを求めなければなりません。また、2行目冒頭の式で、左辺と右辺が＝で結ばれているのは、左辺を変形して右辺になればいいなぁ、と考えたからです。つまり、右辺の形で表せたけれども、これは左辺の式にはなっていない！ということであれば、それは適切な表現形式とはいえないからです。
丁寧な説明をありがとうございます
おかげで理解できました！
フォローさせていただきました
これからもよろしくお願いします🙇🏻♀️
よかったです！部分分数分解は、（もし理系なら）高三の数学3でも頻出です（たとえば、厳密には大学の範囲ですが、任意の有理関数は原始関数を有することの証明などにも出てきます）。頑張ってください！
フォロバさせていただきましたので、こちらこそ宜しくお願いします！
理系なのでがんばります！
フォローありがとうございます！
つぎに、このa,bを求める作業に移ります。右辺を左辺と同じ形にしてあげるには、通分すれば良いでしょう。通分して計算した時、この分子の形が左辺の分子である「1」と一致しているような、aとbを求めたいのです。これはkに関係なくつねに1ですから、(a+b)k+a=1として、a=1、かつa+b=0なのでb=-1（今回は、足し算の形で仮定したのでbに-1が出て、引き算の形になりました。最初の右辺を引き算の形で仮定すれば、b=1が出てきます。どちらにしろ表現式は変わりません）。
そこで、これを2行目の冒頭式右辺に代入すれば、3行目の式が得られるわけです。
これで大丈夫でしょうか？まだ厳しそうであればコメントにて追記してください