(1) 90 と自然数nの最大公約数が15, 最小公倍数が3150 であるとき、nの
(2) 最大公約数が 12, 最小公倍数が 480である2つの自然数の組をすべて求
基本例題104 最大公約数,最小公倍数の性質
値を求めよ。
b189 基本事項5
めよ。
CHARTO
OLUTION
2つの自然数 a, 6の最大公約数g, 最小公倍数 1の性質
a=ga', b=gb'であるとすると
1 a', 6'は互いに素
(1) 上の3を利用する。
(2) 条件から,a', 6'を互いに素な自然数として, 2つの自然数は 12a', 125'と
表される。次に, 上の2を利用すると
2 1=ga'b'
3 ab=gl …
12a'b'=480
解答)
(1) 条件から
90n=15-3150
15.3150
これを解いて
=U
90
-=525
別解 90=15-6 であるから,自然数kを用いて
n=15k (kと6は互いに素)
全上の性質1
と表される。
最小公倍数が3150 であるから
3150=15-6-k
合上の性質2
よって
k=35
ゆえに
n=15-35=525
全 35 と6は互いに素。
(2) 2つの自然数を a, bとすると,最大公約数が12であるか
コ ら,
a=12a', b=126'
と表される。ただし, a', b' は互いに素である。
このとき, a, bの最小公倍数は 12a'b'と表されるから
12a'b'=480
すなわち
a'b'=40 を満たし, 互いに素である a', b' の組は, a'<b'
a'b'=40
「互いに素」は重要。例
えば(a', b')=(4, 10)
から(a, b)=(48, 120)
とすると,最大公約数は
24となって不適。
とすると
(a, b)=(12, 480), (60, 96)
したがって, 求める2つの自然数の組は
(12, 480),(60, 96)
よって
ありがとうございます！！