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こういった解答は往々にして結果論であることが多いですから、あまり気にする必要はありません。具体的には、解く時に以下のようなプロセスを踏んでいると考えれば良いでしょう。
2次不等式を解く、という問題の答えは「解があればそれを求めて、なければないと答える」と解釈できるので、まず「解があるか」を判別する：①
次に、解があれば、その値を求める：②
そして、この①で判別式を使うということです。(2)のように解がなければ、その時点でこれを根拠に解答を終えることができます。
(1)のような場合は、②のステップへ進み、実際に解を求めます。この際、判別式は二次方程式の解の公式の一部分に過ぎなかったことを確認すれば、実数解が求まった時点で判別式が正は自明ですから（実数解を求めた時に、この条件の中に含まれているわけです）、判別式云々を記述していないだけです。
逆に、(1)を解答のように最初から使わないで解くということも当然可能で、このような解法の記述をとった場合は(2)において、それを満たす実数xが存在しないという結果が出てくるだけです。（たとえばx^2 +4<0と言った具合。今回の(2)とは違いますが、このようなxはどう頑張っても存在できませんね）これを究極的に突き詰めていくと、xは虚数解ですから、代数学の基本定理から、n次方程式は複素数の範囲で重複を許してn個の解をもつ、という話に発展します。ただ、二次関数を扱っているということは高一の範囲でしょうから、あくまでこれは余談というか予告編程度に考えてもらって構いません。
精密な話をすれば、「解く」という行為は本来最も簡単な同値条件を求めよという話なのでズレていると突っ込まれそうですが、一先ず現時点では、問題の読みかえとして上のように捉えておけば問題ないと思われます。
何か疑問点等あれば、コメントにて追記してください
