Question

tofu

6人を3つの組に分ける方法(どの組にも少なくとも1人は入るようにする)を求めるとき、6人の間に2本の棒を入れるというやり方ではだめなのでしょうか？
6人の間が5つでその中から2つ選んで棒を入れ、6人の並び方は6！通り、組に区別がないから1/3！で
₅C₂×6!×1/3!と式を立て計算したのですが答えと違くなってしまいます。答えは90通りです。教えてください🙇🏻‍♀️

8.88888

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

i. ○の間に2つの|を入れる場合の数は次の₅C₂通り。
1)○|○|○○○○
2)○|○○|○○○
3)○|○○○|○○
4)○|○○○○|○
5)○○|○|○○○
6)○○|○○|○○
7)○○|○○○|○
8)○○○|○|○○
9)○○○|○○|○
10)○○○○|○|○
ii. [i]のそれぞれの場合に対して6人の並べ方は6!通り
例えば、i-(10)の場合に対し、
1)①②③④|⑤|⑥
2)①②③④|⑥|⑤
3)①②③⑤|④|⑥
4)①②③⑤|⑥|④
5)①②③⑥|④|⑤
6)①②③⑥|⑤|④
7)①②④③|⑤|⑥
8)①②④③|⑥|⑤
…
719)⑥⑤④③|①|②
720)⑥⑤④③|②|①
この時点でいくつか重複があることがわかる。
(1),(2),(7),(8)は組分けとしては同じ。
このように同じ組分けとなる並べ方は、
左の組の内部の並べ方4!通り
真ん中と右の組の区別の仕方2!通り
よって、4!×2!通り存在する。
iii. 組の区別をなくす
以上より、6人を4人、1人、1人の3組に分ける方法は
6!/(4!2!)=15通り

tofuさんのやり方は、[i],[ii]で₅C₂×6!とするところまではいいんですが、最後[iii]の区別をなくすところをすべて1/3!としてしまっているのが間違っています。
組の区別の仕方が3!通りになるのは、
i-(6)○○|○○|○○のときだけです。
しかも、このときでも各組の内部の並べ方(2!)³で割らなければいけません。
よって、6人を2人ずつの3組に分ける方法は、
6!/{(2!)³3!}=15通り

[i]で人数にだけ注目すると、あとは1人、2人、3人の3組に分ける方法だけです。
内部の並べ方2!×3!で割ればいいですから、
6!/(2!3!)=60通り

したがって、6人を3組に分ける方法は全部で、
15+15+60=90通り
となります。

tofu

丁寧にいつもありがとうございます😊🙏🏻そうだったんですね！こういう問題いつも引っかかっていたので疑問がなくなって嬉しいです✨理解出来ました!!!