3個のさいころを同時に投げる。出る目のは最大値が4である確率を求めよ。 (自分の解答) ［1］1個のさいころの目が4で、残り2個が3以下の場合目の出方は、1×3×3=9(通り) ［2］2個のさいころの目が4で、残り1個が3以下の場合目の出方は、1×1×3=3(通り) ［3］3個のさいころの目が4の場合目の出方は、1×1×1=1(通り) ［1］［2］［3］は排反であるから、求める確率は、 9×3×1/6^3＝27/216 ＝1/8 どこが間違えてるか、またどう直せばよいか教えてほしいです🙇♂️

3個のさいころを同時に投げる。出る目のは最大値が4である確率を求めよ。

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

3年以上前

まず、正しい答えは37/216ですかね？

まぐろのおすし 3年以上前

そうです！

ブドウくん 3年以上前

まず、正しい解き方から書きますね。
3回とも1~4の目が出るような目の出方は全部で4³通りあるのでこのような確率は、³4/6³=8/27です。
このうち、1回も4が出ないような場合には最大値が4にならず3以下になってしまいます。すなわち、今のままだと最大値が4[以下]という条件になってしまっているので、最大値が3以下になる場合を弾きます。
最大値が3以下となるのは同様に考えて、3³/6³=1/8だから
8/27-1/8より37/216です。

まぐろのおすし 3年以上前

どうしてその式は3個全てのさいころの目が4であるときのことを求めているものではないのですか…？
引いてしまうと全て4である確率を求めている気がしてしまいます…😥

ブドウくん 3年以上前

まず、この8/27には、「2と1と3」みたいに4が最大でない場合も含まれているし、「4と4と1」みたいに4が最大になる場合も含まれています。なぜなら、分子の4の3乗は、1から4の数字を選ぶ操作を3回やったものとみなせるからです。1/8に関しても同じことで、最大値が3の場合も3でない2のような場合も含まれていて、これは「最大値が3以下の確率」です。ですが、ここには「4と1と2」のようなものは含まれていません。なぜなら、分子の3³は1~3の数を取ることを3回やることを意味しており、4をとるということが含まれていないからです。
つまり、最初の8/27には3つとも4も当然含まれていますが、1つだけ4のようなものも含んでいます。その上で、1/8には1つだけ4のようなものは含まれていないので、引き算したら1つだけ4といったものも当然残ります。

ブドウくん 3年以上前

この説明で理解して貰えるか微妙なところですが、分からないところは質問してもらって、理解できたのならその返事を下されば、なぜ質問文にある回答だと間違いなのかを説明します。

まぐろのおすし 3年以上前

「つまり、最初の8/27には3つとも4も当然含まれていますが、1つだけ4のようなものも含んでいます。その上で、1/8には1つだけ4のようなものは含まれていないので、引き算したら1つだけ4といったものも当然残ります。」

解答してくださったこの部分で理解することができました！

ブドウくん 3年以上前

よかったです。
その上で、質問文にある解答に関して聞きたいのですが、なぜ排反事象なのに足すのではなくかけたのでしょうか？足していたとしても間違いなんですが、まずここに引っ掛かったので聞かせてください。

まぐろのおすし 3年以上前

あー、ほんとですね
間違いです！
排反だし、しかも場合分けもしているのにかけるのは、今思えばおかしいですね

指摘してくださったことをふまえて答えを直させていただきます

9+3+1/6^3＝13/216

この解答で改めて解説お願いします🙇‍♂️

ブドウくん 3年以上前

正しい答えは37/216であり、今回は13/216と答えているということは、【何かを数え漏らしている】ということですね。まず自分で答え合わせしたときに、ダブルカウントしているのか、数え漏れがあるのかは確認するようにすると良いと思います。

結論から言うと、間違った理由は【サイコロの区別ができていないため】です。誰だったか忘れましたが、同じようなミスをしている質問に答えたのですが、よくあるミスですね。
例えば[1]の9通りは、写真の9つを数えたのだと思います。しかし、正しくは421は412,421,124,142,214,241の6つとカウントせねばなりません。412は別にカウントしていますが、それ以外はカウントしていないというように、ちょくちょく数え漏れがあります。でも、このサイコロ3つは見た目が同じなので、このように考えるのはおかしいと思うかもしれません。ですが、これが正しいです。

というのも、確率では全てのものを区別して考えなければならないからです。
写真2,3枚目を見てください。ここに確率の本質が詰まっていると思いますし、今回もこのA君と同じことをしていますね。
場合の数では、サイコロが同じ場合、1,2,4と出たとしても1,4,2と出たとしても見分けがつきません。しかし、確率においては、サイコロP, サイコロQ, サイコロRのように区別して考えて、(P,Q,R)=(1,2,4)(1,4,2)(4,2,1)(4,1,2)(2,1,4)(2,4,1)としなければいけないのです。今回、「3つとも違う数字が出ること」と「2つだけ同じ数字が出ること」と「3つとも同じ数字が出ること」では、同様に確からしくありません。

ブドウくん 3年以上前

その方針で解いた場合の正しい解答です。次に同じ問題を解くときには、上で解いた模範解答のやり方でやってほしいですが、この間違いは良い勉強に繋がったと思います。

まぐろのおすし 3年以上前

わかりやすくありがとうございます！

『「3つとも違う数字が出ること」と「2つだけ同じ数字が出ること」と「3つとも同じ数字が出ること」では、同様に確からしくありません。』

最後のこの部分があまりわかりませんでした
詳しくお願いしたいです🙇‍♂️

まぐろのおすし 3年以上前

さっきの自分の解答を無理矢理正しくするとしたら、

［1］1個のさいころの目が4で、残り2個が3以下の場合
目の出方は、1×3×3=9(通り)
これは3個のさいころのどの場合にも言えるので、
　9×3通り
［2］2個のさいころの目が4で、残り1個が3以下の場合
目の出方は、1×1×3=3(通り)
これは3個のさいころのどの場合にも言えるので、
　3×3通り
［3］3個のさいころの目が4の場合
目の出方は、1×1×1=1(通り)
［1］［2］［3］は排反であるから、求める確率は、
　9×3+3×3+1/6^3＝37/216

でよかったですかね…？

ブドウくん 3年以上前

まず、[1]で9×3としていますが、それは違います。

すみませんが、最後の部分はちょっとおかしなことを書いている気がしたので無視してください。

ブドウくん 3年以上前

要するに何が言いたいのかというと、[1]のうちの1通りとして4,1,1と数えていますが、本来はサイコロをP,Q,Rとして、(P,Q,R )=(4,1,1)(1,4,1)(1,1,4)の3通りと数えるべきなのです。なぜなら、分母の216は、サイコロをP,Q,Rと区別した前提での目の出方だからです。
写真では、単にサイコロを２個振ったときの場合の数は21通りだと書いていますよね。でも、これが確率になると、たとえサイコロが見た目全く同じでも分母は36としないといけないのです。
それと同じで、この3つのサイコロを区別しなかった場合は、分母は216ではないのです。確率では全てのものを区別すべきというルールに則っているから、3つとも全く同じサイコロだったとしても、分母が3つともを区別した216通りなのです。