Question

ししまる

1次不定方程式の問題です。
私は整数解をひとつ求めるためにmodを使うのですが、これにmodを使って(x,y)=(19,0)が出ました。通常ならこれでいいと思いますが、正の整数の組み合わせを求めるにあたってどうしてもyの解が0というのが邪魔で最後までとききれません。
なので、この私が出した実数解で最後まで解く方法か、模範解答の(x,y)=(12,5)のように0を含まない解をmodを使って導き出す方法を教えてください🙇‍♀️

2 494* x, yが正の整数のとき,1次不定方程式 5x+7y = 95 を満たすx, yの組を
すべて求めよ。

494 1次不定方程式
5x+7y= 95 …0
の整数解の1つは x=12, y=5 であるか
ら
5·12+7-5 =95
2
0-2より
5(x-12)+7(yー5) = 0
5(x-12) = -7(y-5)…3
olo)
5と7は互いに素であるから,x-12 は7
の倍数であり,整数nを用いて
ア用*-12= 7n すなわち
と表される。
x= 7n+12
さよって, 3より
2y=-5n+5
ここで,x, yが正の整数であるから
yー5=-5n すなわち
12
7n+12>0 より
7
こ人
-5n+5>0 より
nく1
よって, n=-1, 0 であるから,求めるx,
yの組は
「x=5 [x=12
y= 10, ly=5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

確かに合同式は便利ですが、この問題の場合はmodを使うより
7y=95-5x
7y=5(19-x)
として、x>0, y>0から範囲を絞り込む方が圧倒的に早いと思います。

この質問への解答をしておくと、
mod5のもとで
7y≡0
なのでyが5の倍数と分かり、y=5とかにしてやれば良いです。

ブドウくん

別に(19,0)でも
5(x-19)+7(y-0)=0
5(x-19)=-7y
x-19=7k
y=-5k
となるので、解けますよ。

ししまる

なるほど！理解できました！yが０だと０しか存在しえないのかと勝手に思い込んでいました…さらに楽な解法までご提示いただき感謝です…！！
ご回答ありがとうございました！

Answer 2

ログアウト済み

x ＝ －7k＋19、 y ＝ 5k（k は整数）
が不定方程式のすべての整数解です。

x ＞ 0 より、－7k＋19 ＞ 0 ⇒ k ＜ 19/7
y ＞ 0 より、 5k ＞ 0 ⇒ k ＞ 0
これらを合わせて、0 ＜ k ＜ 19/7。
これを満たす整数 k は、k ＝ 1, 2。

⑴ k ＝ 1 のとき ： (x, y) ＝ (12, 5)
⑵ k ＝ 2 のとき ： (x, y) ＝ (5, 10)

よって、求める正の整数 (x, y) の組は、
(x, y) ＝ (12, 5) (5, 10) となります。

ししまる

ご回答ありがとうございました！
2回も答えていただき申し訳ないです🙇‍♀️最初からこの問題を質問すれば良かったのですが…
助かりました！ありがとうございます！！