Question

❓

数3の問題です
(1)でm=0とm≠0で場合分けして解いたんですけど、解答では場合分けしてなくて、場合分けしなくていい理由を教えてください。

(3)で解答はp=±1とp≠±1で場合分けしてるんですけど、
そもそも(1)でmの値によらずm^2-n^2+4=0が成り立つので場合分けしなくてもいいのではないでしょうか、、

教えて欲しいです😭

A
標準間題
181.〈楕円に引いた2本の接線が直交する点の軌跡)
(1) 直線 y= mx+n が楕円 x+
=1 に接するための条件を m, nを用いて表せ。
4
(2) 点(2, 1) から楕円 x+-
4
-=1 に引いた2つの接線が直交することを示せ。
(3) 楕円 x°+=1 の直交する2つの接線の交点の軌跡を求めよ。
y?
4
V日の
[17 島根大·医,総合理工]
心:0.が0

(1) +ゲ=1から
4x+y=4
これと y= mx+n からyを消去して整理すると
(m+4)r+2mnx+n"-4=D0
このxの2次方程式の判別式をDとすると
=(mn)-(m°+4)(n*ー4) 3D4(m*ーn+4)
直線と楕円が接するための必要十分条件は D=0 である。
よって
mーn+4=0
(2) 直線 x=2は接線でないから, 接線の方程式は y=m(x-2)+1
すなわち y=mx-2m+1 とおける。
よって,(1) において n=-2m+1 とすると
m'-(-2m+1)+4=0
この2次方程式の2つの解を α, Bとすると, α, Bは2つの接線の
傾きを表す。
解と係数の関係により
しだがって,2つの接線は直交する。
(3) 2つの接線の交点を P(p, q)とおく。
[1] pキ±1 のとき
点Pを通り直交する接線は×軸に垂直ではないから, 接線の方
程式は y=m(x-p)+q すなわち y=mx-mp+q とおける。
(1)において n= ーmp+q とすると m'-(-mp+q)?+4=0
(1)の結果が利用できる。
すなわち
3m-4m-3=0
aB= -1
-3
=-1
3
この
合x, yは接線の方程式に使
うので, P(x, y) とおかな
AB
い。
全(2)の方針が利用できる。
すなわち
(1-が)m?+2pqm-q'+4=0
この mの2次方程式の2つの解が,2つの接線の傾きを表す。
2つの接線が直交するから, 解と係数の関係により
-g°+4
1-が
[2] p=±1 のとき
カ=1 のとき,直交する2つの接線は x=1 とy=±2 で, 交
=-1 よって
が+q°=5
の
点の座標は
カ=-1 のとき, 直交する2つの接線は x=-1と y=±2 で,
交点の座標は
(-1, ±2)
これらはいずれも ① を満たす。
[1], [2] から, 求める軌跡は
や点(b, q)は,円の方程式
円x+y°=5
x°+y°=5 を満たす。
に 触を
AC=
定し
のを
って
として
との
MG yy
大で
のと