Question

じ

ある年度の京大実戦模試数学、微積の分野です。この問題がわかりません！！
わからないポイントはaの範囲とxの範囲との関係とその場合分けのやり方がいまいちピンときてないです。
こういうタイプのより簡単な問題は触れたことがあるのですが、この問題は解説読んでも理解できませんでした…
誰か教えてください！！！

-1SaS3のとき、 定積分
の値が最小となるaの値, およびその最小値を求めよ。
【解 答)
1=||2x -|*-a||dx
とおく。
(i) -1Sa50のとき
1=| 2x-(x-a)ds=は+aldk
0S-aS1より
1--の
-「(-x-a)dx+ (x+a)dx
-a
,2
+ ax
ax
=d'+a+s
(i) 0<a<1のとき
-| 2x-(-x+a)\dx+ ||2x-(x-a)]dx
I=
【解
13x-alds+| |x+aldx
--3x+a)dx+ (3x-a)dx +
(x+a)dx
三
【解
-2{-()+ -d+\a-d)+d1-の)
3
3「
おつぷ
3
boa
こ+a+
3
=ー
2
1Sa=3のとき
1=||2x-(-x+a)ldx = | |3x-aldx
【解
=(-3x + a)dx+
。 (3x-a)dx
D
【解
3
a
=2
3
a
2
3
3
3
)~より

となるので、グラフは次のとおり、
*Enn年
(-1Sas0)
1 (-)*る
AT60
60
(1SaS3)
↑I
2
線室
7
8
3
4
1
2
2?ス-a
X?-a
O
11
2
3
フス?ァー4
【解説)
3
これより
フ2-a
--のとき、最小慎
a=-
2く~以
…………(答)
【解 説】
1° 例えば、5=
-|x-aldx を計算するためには
y=|x-a|
(x三a)
(xSa)
より、積分区間0三x=1と2つの範囲
x-a
-L-00
ォ-al=
1-x+a
x三a, xSa
a
の包含関係が問題になる.したがって,
aS0
0<a<1
a21
a 0
1
x
0a 1
0
1 a
x
の3つの場合分けが必要で
平(D-))
S={(-x+a)dx+ x-a)dx (0<a<1)
(aS0)
「(-ま+a)dx
(a=1)
ま
である。Iにおいてもx-alの絶対値をまず処理するために同様の3つの場合分けを考える
-1SaS0のとき, 0Sx=1において
*-a|=x-a
あるから
- 27 -

1-r-(-a) -[r+ald
y=x+a
(-aSxS1)
(0SxS-a)
となり
「x+a
*+a|=
[-x-a
0
a
だから
1-(ュ-のは+a+0a
である。
3° 0<a<1のとき, 2° と同様に
(aミx=1)
y= 3x -a
x-a
|x-a|={
ーx+a
(0SxSa)
より
= 12x-(x+)d +12x-(x-a)dr
0
3
a
a
-a dx +
x+
となり
y=|x+d|
y=|3x-al. y=|x+a|
のグラフはそれぞれ右図のようになるから
I=
|(-3x +a)dx +| (3x-a)dx +
ーa
0
a 1
である。
4° 1Sa%3のとき, 0Sx=1において
x-a|=-x+a
y= 3x -
(x=)
3x-a
|3x-a|=
-3+a(0sxs)
より。
0
a
3
14
-2x-(-+@) %= 13x-aldá
I=
(-3x+a)dx+
(3x -a)dx
となる。
5° 参考までに, a<-1, 3<aのときは以下のようになる。
a<-1のとき
+=-の=-
I=
a
a>3のとき
-| 13x-aldx= | (-3x+a)dx=-
+a

積分 数学 二次数学 京大

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

キレート

(i)を例に説明してみましたが、下手くそなので、わからなかったところ教えて下さい。一つもわからない時は一から頑張ります笑

キレート

詳しい解説明日でもいいですかね？雑な質問対応ですみません。

じ

夜遅くに回答ありがとうございます😭
ごめんなさいやっぱりわからないです。明日で構いませんのでよろしくお願いします。。。
特に写真のアンダーラインのところとその・の部分がわからないです

じ

ごめんなさいわかりました！！！
ようはaの符号による、y＝|x-a|の0<=x<=1における場合分け(グラフで考える)をして、そのあとI＝・・・の定積分の場合分けというふうに、分けて考えるっていうことですかね！？！？
でもどうしてこういうふうにしなきゃいけないんだ…？？

キレート

解説に一貫性がないので分かりにくければ追加で説明します。（ほんと下手ですみませんm(_ _)m）

じ

めちゃくちゃ分かりました！！！丁寧な解説本当にありがとうございます😊🙇

キレート

お疲れ様でした！
頑張ってください！